Mathematik-Glossar: Gruppentheorie

Im Glossar zur Gruppentheorie werden folgende Notationen verwendet: und sind Gruppen. ist das neutrale Element einer endlich erzeugten Gruppe mit Erzeugern . ist Untergruppe. ist Normalteiler. ist Faktorgruppe. oder bedeutet „ isomorph zu (einer Untergruppe von) 

Fachbegriffe, die aus dem Themengebiet der Gruppentheorie herausführen sind blau; Begriffe, die innerhalb dieses Glossars erklärt werden, sind grün. Alle Verweise auf Stichworten führen zudem auf einen Artikel in der Wikipedia.

Inhaltsverzeichnis: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

ABearbeiten

abelsch
heißt eine Gruppe  , wenn die Verknüpfung   kommutativ ist, also  . Benannt nach Niels Henrik Abel.
Allgemeine lineare Gruppe
  vom Grad   über einem Körper   ist die Menge aller invertierbaren oder regulären quadratischen Matrizen der Dimension   mit Koeffizienten aus   und mit der Matrixmultiplikation als Gruppenverknüpfung.
Alternierende Gruppe
  oder auch   ist die Menge aller geraden Permutationen einer Menge von   Elementen; für   eine nicht-triviale Untergruppe der symmetrischen Gruppe. Für   ist sie einfach. Ihre Ordnung ist  .
Automorphismus
(altgr.: αὐτομορφισμός, „eigene Gestaltgeber“) ist ein bijektiver Homomorphismus (Isomorphismus) aus einer Gruppe in sich selbst.

BBearbeiten

Bahn
  eines Elements   unter der Operation mit   ist die Menge aller möglichen Bilder von   unter der Operation.  
Bijektiv
heißt eine Abbildung, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

CBearbeiten

Charakteristische Untergruppe
ist eine Untergruppe, die unter Automorphismen auf sich abgebildet wird, also „fest bleibt“.

DBearbeiten

Darstellung
einer Gruppe vom Grad   ist ein Homomorphismus von einer Gruppe auf eine allgemeine lineare Gruppe. Die Darstellungstheorie ist ein umfangreiches Unterkapitel der Gruppentheorie.
Diedergruppe
heißen eine Serie von Gruppen, die jeweils von zwei Involutionen erzeugt werden. Diedergruppen können als Symmetriegruppe eines regulären n-Ecks aufgefasst werden. Sind   erzeugende Involutionen der Gruppe   so hat diese Ordnung  .   besitzt einen zyklischen Normalteiler   der Ordnung   und jedes Element außerhalb von   invertiert diesen. Diedergruppen sind durch die Gruppenordnung bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und in der Literatur als   bzw auch als   notiert, wobei   die Ordnung des zyklischen Normalteilers ist.
Direktes Produkt
(bei additiver Interpretation auch direkte Summe)   zweier (auch beliebig vieler) Gruppen ist die Menge aller Tupel von Gruppenelementen. Mit der elementweisen Verknüpfung bildet es eine Gruppe. Ein Produkt von Untergruppen   heißt intern, falls
 
Meistens ist mit dem direkten Produkt das interne direkte Produkt gemeint.

EBearbeiten

Einfach
heißt eine Gruppe aus mindestens zwei Elementen, die nur   und sich selbst als Normalteiler enthält. Jede endliche Gruppe ist in gewisser Weise aus einfachen Gruppen zusammengesetzt. Die endlichen einfachen Gruppen sind abschließend klassifiziert.
Einselement
siehe neutrales Element
Endlich
heißt eine Gruppe, wenn sie nur endlich viele Elemente enthält, also von endlicher Ordnung ist.
Elementar abelsch
heißt eine endliche p-Gruppe, für all deren Elemente gilt, dass   ist.
Endlich erzeugt
heißt eine Gruppe, wenn sie von endlich vielen Elementen erzeugt wird. Also jedes Element eine Darstellung als Kombination endlich vieler Erzeuger hat. Die Erzeuger sind i.A. nicht eindeutig. Ist eine endlich erzeugte Gruppe abelsch, gilt der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen.
Epimorphismus
(von altgr: έπίμορφήισμός, „Gestalteinführer“) ist ein surjektiver Homomorphismus.
Erzeuger
siehe Erzeugendensystem.
Erzeugendensystem
ist eine Teilmenge   einer Gruppe, deren Elemente Erzeuger heißen, sodass jedes Element eine Darstellung als Produkt endlicher Potenzen der Erzeuger hat. Die Länge von   ist die Anzahl der Elemente in  . Die Minimale Länge eines Erzeugendensystems ist für eine gegebene Gruppe eindeutig. Ist sie endlich, heißt sie endlich erzeugt. Ist die Länge gleich eins, heißt   zyklisch. Für „  wird von   erzeugt“ schreibt man  .

FBearbeiten

Faktorgruppe
(auch: Quotientengruppe, Restklassengruppe)   ist für   die Menge der (hier Links)-Nebenklassen mit der Verknüpfung   wie folgt erklärt  . Der Zusammenhang von Normalteilern, Homomorphismen und Faktorgruppen ist im Homomorphiesatz zusammengefasst.
 
Évariste Galois

GBearbeiten

Grad einer Darstellung
Dimension der allgemeinen linearen Gruppe, in die eine Darstellung abbildet.
Grad einer linearen Gruppe
ist die Zahl der Spalten (also auch der Zeilen) der quadratischen Matrizen, aus denen diese Gruppe besteht. Siehe allgemeine lineare Gruppe.
Gruppe
ist eine nichtleere Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung, die gewissen Eigenschaften genügt.
Gruppenaxiome
siehe Verknüpfung.
Gruppenhomomorphismus
siehe Homomorphismus.

HBearbeiten

Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
Siehe Satz.
Homomorphiesatz
Siehe Satz.
Homomorphismus
von Gruppen ist eine Abbildung   die die Gruppenstruktur erhält. Also  . Ein Homomorphismus heißt Monomorphismus, falls   injektiv; Epimorphismus, falls   surjektiv; Isomorphismus, falls   bijektiv; Automorphismus, falls     in sich selbst überführt, also  . Siehe auch Natürlicher Homomorphismus

IBearbeiten

Beispiel: Isomorphismus
 
Identität
 
  (Rotation 90° rechts)
 
  (Rotation 180° rechts)
 
  (Rotation 270° rechts)
 
  (Vertikale Spiegelung)
 
  (Horizontale Spiegelung)
 
  (Diagonale Spiegelung)
 
  (Gegendiagonalspiegelung)
Die Elemente   dieser geometrischen Abstraktion (sog. Symmetriegruppe des Quadrats) bilden mit der Hinereinanderausführung eine Gruppe. Sie ist isomorph zur Dieder Gruppe . Man kann in verschiedenen Darstellungen oft ohne viel Aufwand Informationen über erheblich komplexere Gruppenstrukturen sammeln, die beim Wechseln mit Isomorphismen erhalten bleiben.
Index
einer Untergruppe ist die Anzahl ihrer Rechts- oder Linksnebenklassen.
Involution
(auch Selbstinverse) heißen Gruppenelemente, die sich selbst invertieren.
Isomorph
(von altgr.: ἰσομορφός, „von selber Struktur“) heißen Strukturen, die durch einen bijektiven Homomorphismus (Isomorphismus) aufeinander abgebildet werden können. Isomorphe Strukturen können als bis auf die Bezeichnung ihrer Elemente „identisch“ angesehen werden. Eine Hauptaufgabe der Gruppentheorie ist die möglichst eindeutige Klassifikation von Gruppen „bis auf Isomorphie“. Beispielsweise ist jede zyklische Gruppe isomorph zu einer Untergruppe der ganzen Zahlen  . Für „  ist isomorph zu  “ schreibt man  . Für „  ist Isomorph zu einer Untergruppe von  “ schreibt man  
Isomorphismus
ist ein bijektiver Homomorphismus.


KBearbeiten

Kern einer Abbildung
die Teilmenge der Ausgangsmenge, die auf das neutrale Element der Zielmenge abgebildet wird. Jeder Normalteiler ist Kern eines Gruppenhomomorphismus und umgekehrt. Besteht der Kern eines Homomorphismus' nur aus dem neutralen Element, so ist dieser injektiv.
Kleinsche Vierergruppe
  ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe. Sie hat die Ordnung 4.
kommutativ
siehe abelsch.
Kompositionsreihe
siehe Reihe.
 
Sophus Lie
Konjugation
mit einem Element   ist die Abbildung   Die Konjugation ist ein innerer Automorphismus von  .  . Die Abbildung   bildet   in die Gruppe der inneren Automorphismen, einen Normalteiler der Automorphismengruppe, ab. Der Kern von   ist das Zentrum   von  . Normalteiler sind bezüglich Konjugation invariante Mengen (Auch Untergruppen). Das Zentrum ist die größte, elementweise bezüglich Konjugation invariante Menge.

LBearbeiten

Lie-Gruppe
ist eine Gruppe, die zugleich eine analytische reelle oder komplexe Mannigfaltigkeit ist, und deren Verknüpfung (nebst Umkehrfunktion) eine analytische Funktion ist.
Links-Nebenklassen
Siehe Nebenklasse

MBearbeiten

Monoid
ist eine Halbgruppe mit neutralem Element, aber ohne inverses Element.
Monomorphismus
(altgr.: μονομορφήισμός „einzige Gestaltgeber“) ist ein injektiver Homomorphismus.
Monstergruppe
ist die größte sporadische Gruppe.

NBearbeiten

Beispiel: natürlicher Homomorphismus
Die Abbildung, die in den ganzen Zahlen Elemente
der  -elementigen Faktorgruppe zuordnet.
Die Abbildung entscheidet, ob eine Zahl durch   teilbar ist.
Natürlicher Homomorphismus
ist bezüglich   der Homomorphismus   mit   Der Homomorphismus, der jedes Element als Vertreter seiner Faktorgruppe   interpretiert.
Nebenklasse
von   zum Element   ist die Menge die durch Verknüpfung von einer festen Seite aller Elemente aus   mit   entsteht. Die Rechtsnebenklasse von   unter   ist also  
Neutrales Element
ist das Element  , das verknüpft mit beliebigen Element das Element fest lässt.  
Normal
siehe Normalteiler.
Normalreihe
siehe Reihe.
Normalisator
  einer Teilmenge (praktisch meistens Untergruppe)   in   ist die Menge aller Elemente in  , für die   unter Konjugation invariant gelassen wird.  . Gilt   heißt U Normalteiler.
Normalteiler
ist eine unter Konjugation mit beliebigen Element invariante Untergruppe. Also   oder  . Normalteiler zu sein ist gleichbedeutend mit der Gleichheit der rechten und linken Nebenklasse. Das gilt in abelschen Gruppen immer. Für „  ist Normalteiler von  “ schreibt man auch  .   ist genau dann Normalteiler, wenn der Normalisator von   in   gleich G ist.
Nullelement
siehe neutrales Element.

OBearbeiten

Operation
einer Gruppe auf einer Menge   ist ein Homomorphismus   mit  . Eine Operation heißt treu, falls jedes Element aus   unter   auch bewegt wird, also  . Kann ein Element bei Operation mit   auf ein anderes abgebildet werden, also falls  , sagt man, die Elemente liegen in einer Bahn.
Orbit
siehe Bahn.
Ordnung einer endlichen Gruppe
ist die Anzahl ihrer Elemente.
Ordnung eines Elements
  einer Gruppe   ist, die kleinste positive Potenz von  , die das Einselement ergibt.   Die Ordnung einer endlichen Gruppe ist durch die Ordnung jedes Elements teilbar. (siehe Satz von Lagrange)

PBearbeiten

p-Gruppe
ist eine Gruppe deren Ordnung Potenz einer Primzahl ist.
Permutationsgruppe
Siehe symmetrische Gruppe.
Prime Restklassengruppe
Siehe Faktorgruppe.
Punktgruppe
Siehe Symmetriegruppe.

QBearbeiten

Quaternionengruppe
ist die Gruppe des Schiefkörpers der Hamiltonschen Quaternionen
Quotientengruppe
siehe Faktorgruppe.

RBearbeiten

Raumgruppe
ist die Symmetriegruppe eines Kristalls.
Reihe
Eine monotone Folge geeigneter Untergruppen einer Gruppe.
Restklassengruppe
siehe Faktorgruppe.

SBearbeiten

Satz
ist hier eine bewiesene Aussage über algebraische Zusammenhänge. Die Gruppentheorie kennt folgende Sätze:
Satz von Ado
behandelt Darstellbarkeit von Lie-Algebren als Matrizen.
Satz von Artin
auch Artinsches Reziprozitätsgesetz: Die Galoisgruppe einer abelschen Körpererweiterung ist Quotient einer Idealklassengruppe.
Satz von Brauer-Suzuki
Eine Aussage über spezielle Untergruppen.
Bikommutantensatz
Eine von-Neumann-Algebra stimmt mit ihrem doppelten Kommutanten überein.
Satz von Cayley
Jede Gruppe ist isomorph zu einer Gruppe von Permutationen.
Satz von Engel
Charakterisierung nilpotenter Lie-Algebren.
Fünferlemma
Lemma aus der homologischen Algebra (Diagrammjagd)
Hauptsatz der Galoistheorie
Beziehungen zwischen Untergruppen der Galoisgruppe und den Zwischenkörpern von Körpererweiterungen.
Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
jede eeaG hat eine Zerlegung in ein direktes Produkt zyklischer Untergruppen.
Homomorphiesatz
besagt, dass das Bild eines beliebigen Gruppenhomomorphismus   mit der Gruppe nach ihrem Kern isomorph ist:  
Erster Isomorphiesatz
 
Zweiter Isomorphiesatz
Sind   Normalteiler, dann gilt  
Satz von Jordan-Hölder
Zwei beliebige Kompositionsreihen einer Gruppe sind äquivalent.
Satz von Krull-Remak-Schmidt
Gruppen bzw. Moduln mit Endlichkeitsvoraussetzungen sind Produkt von unzerlegbaren Untergruppen bzw. Untermoduln.
Satz von Lagrange
Die Ordnung einer Untergruppe einer endlichen Gruppe teilt die Gruppenordnung.
Satz von Maschke
Zerlegung einer Gruppendarstellung in ein direktes Produkt irreduzibler Darstellungen.
Lemma von Nakayama
Lemma über endlich erzeugte Moduln.
Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt
Satz über die Basis der universellen einhüllenden Lie-Algebra.
Satz von Schreier
Zwei Normalreihen einer Gruppe lassen sich durch Verfeinerung zu äquivalenten Normalreihen verlängern.
Sylow-Sätze
erlauben es, Aussagen über Untergruppen von endlichen Gruppen zu treffen und einige Gruppen endlicher Ordnung zu klassifizieren. (Nach Ludwig Sylow








Spezielle lineare Gruppe
  vom Grad   über einem Körper   ist die Menge aller invertierbaren Matrizen   der Dimension   mit der Determinante eins.   Die spezielle lineare Gruppe ist Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe.
spezielle orthogonale Gruppe
  vom Grad   über einem Körper   in einem Prähilbertraum ist die Menge aller orthogonalen Matrizen der Dimension  . Die spezielle orthogonale Gruppe ist Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe.
Sporadische Gruppe
ist eine der 26 endlichen einfachen Gruppen, die sich keiner der 18 Familien endlicher einfacher Gruppen zuordnen lassen.
Sylow-Gruppe
siehe Sylowsätze.
Symmetriegruppe
ist die Menge der Abbildungen eins geometrisches Objekt auf sich selbst mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen als Verknüpfung. Die Symmetriegruppen regulärer  -Polygone entsprechen der symmetrischen Gruppe auf   Elementen.
Symmetrische Gruppe
  besteht aus der Menge alle Permutationen auf einer Menge von   Elementen. Sie hat die Ordnung  .
Symplektische Gruppe
  vom Grad   über einem Körper   ist die Menge aller linearen Abbildungen, die Symplektische Formen, also nicht ausgeartete, alternierende Bilinearformen, invariant lassen. Für Körper mit Charakteristik verschieden von 2 ist die symplektische Gruppe Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe die diese im direkten Produkt mit der speziellen orthogonalen Gruppe erzeugt.

TBearbeiten

Treue Darstellung
ist ein Monomorphismus einer Gruppe auf die allgemeine lineare Gruppe. Siehe auch Darstellungstheorie.
Triviale Gruppe
besteht nur aus dem neutralem Element.

UBearbeiten

unitäre Gruppe
ist die Gruppe der unitären Matrizen.
Untergruppe
ist eine nichtleere Teilmenge   einer Gruppe  , die bezüglich der Verknüpfung   eine Gruppe ist. Insbesondere ist die Menge unter der Verknüpfung und des Bildens der inversen Elemente abgeschlossen. Untergruppe zu sein ist äquivalent zur Gültigkeit des sogenannten Untergruppenkriteriums:  
Untergruppenkriterium
siehe Untergruppe.
Unimodulare Gruppe
ist eine Gruppe, für die das linksseitige und rechtsseitige Haarsche Maß übereinstimmen. Standardbeispiel sind die unimodularen Matrizen, auch spezielle lineare Gruppe genannt.

VBearbeiten

Verknüpfung
Eine binäre Relation  , die abgeschlossen und assoziativ ist. Zudem gibt es ein Element, das bezüglich der Verknüpfung alle anderen unverändert lässt, das neutrale Element   und zu jedem Element  eines, das dieses auf das neutrale Element abbildet, das inverse Element  . In einer abelschen Gruppe ist die Verknüpfung kommutativ. Es gilt also:
 

WBearbeiten

Wirkung
Siehe Operation.

ZBearbeiten

Zentralisator
  eines Elements   ist die aus allen mit   kommutierenden Elementen bestehende Menge.  
Zentrum
  einer Gruppe   ist die größte Untergruppe von  , in der jedes Element mit allen Elementen von G kommutiert.  , also der Schnitt über alle Zentralisatoren von  
Zyklisch
heißt eine Gruppe  , die von genau einem Element   erzeugt wird: Alle Elemente von   sind Potenzen von  . Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist das direkte Produkt von zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung. (Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen)