Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Eindeutigkeit der Lösungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nun gehen wir zur Wärmeleitungsgleichung über, sie lautet

 

Sie heißt homogen für  , sonst inhomogen.

Wir können eine Anfangswärmeverteilung   zum Zeitpunkt   und Wärmequellen und -senken   vorgeben und die Gleichung sagt uns, wie sich die Wärmeverteilung in Raum und Zeit entwickelt. Die Lösung für den Ganzraumfall haben wir schon betrachtet. Dann haben wir die Wärmekugel (englisch heat ball) eingeführt und die Mittelwerteigenschaft bewiesen. Nun folgern wir daraus das Maximumprinzip. In diesem Kapitel beweisen wir drei verschiedene Varianten der Eindeutigkeit des Anfangswertproblems.

Eindeutigkeit gemäß dem MaximumprinzipBearbeiten

Satz

Sei   beschränkt und offen und  . Dann gibt es höchstens eine Lösung   der Anfangswertaufgabe

 

Beweis

Seien   zwei Lösungen der Anfangswertaufgabe. Dann löst   die Anfangswertaufgabe

 

Mit dem Maximumprinzip folgt  , d.h.

 

Auch   löst die Anfangswertaufgabe

 

und es folgt mit dem Maximumprinzip  , d.h.

 

und damit

 

Eindeutigkeit mittels der EnergiemethodeBearbeiten

Satz

Seien   offen, beschränkt mit  -Rand und   und  .

 

Seien   zwei   Lösungen. Dann gilt  

Beweis

Für   gilt

 

Setze

 

und berechne die Ableitung nach der Zeit. Integral und Ableitung lassen sich vertauschen, da   und seine Ableitung stetig sind und beschränkt auf dem kompakten  . Das ergibt mit partieller Integration Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes

 

Damit ist   monoton fallend und es folgt

 

Das ergibt mit der Randbedingung

 

damit folgen

 

Hilfssatz über das Supremum der Lösung auf Bearbeiten

Bisher hatten wir Eindeutigkeit für beschränkte Gebiete gezeigt, jetzt ist das Ziel die Eindeutigkeit auf unbeschränkten Gebieten. Dafür benötigen wir eine Zusatzbedingung an  , dass   nicht zu schnell anwächst. Und wir benötigen folgenden Hilfssatz.

Satz

Sei   eine Lösung von

 

Zudem genüge   der Wachstumsbedingung

 

mit  . Dann gilt

 

Genügt die Lösung der Anfangswertaufgabe der unteren Schranke

 

so gilt

 

Beweis

1.) Seien   und   fest. Dann löst die Funktion

 

die homogene Wärmeleitungsgleichung in  , denn

 

und

 

Zu beliebigem   setze  . Dann ist   eine kalorische Funktion und mit dem Maximumprinzip erhalten wir

 

2.)

Sei   beliebig. Da   echt positiv ist, gilt

 

Für alle   gilt

 

Es gelte  . (Später zeigen wir das Argument für beliebig große  ). Wähle ein   mit  . Dann gilt

 

und weiter

 

Wegen des Grenzwertes

 

gilt für große  

 

somit

 

3.) Damit folgt

 

und mit obiger Anwendung des Maximumprinzips

 

Damit ergibt sich

 

und insgesamt

 

4.)

Wir hatten die Einschränkung   formuliert. Ist   größer, so betrachtet man die Intervalle   mit  . Dann gilt

 

Benennt man nun die Zeit  , so lässt sich der Beweis auf Schritte 1.)-3.) zurückführen. Wieso genau? Hat jemand eine Idee?

To-Do:

Wieso gilt das? Hat jemand eine Idee? Nachzutragen

Eindeutigkeit auf Bearbeiten

Satz

Seien   und  . Dann hat die Anfangswertaufgabe

 

höchstens eine Lösung  , die der Wachstumsbedingung

 

mit Konstanten   genügt

Beweis

Seien   zwei Lösungen. Dann löst   die Gleichung

 

und es gilt die Wachstumsbedingung

 

Mit dem gerade gezeigten Hilfssatz folgt   und somit  .

Genauso löst   die Gleichung (da die Ableitungen linear sind) und es folgt  . Das ergibt