Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nach der Wärmeleitungsgleichung gehen wir nun zur Wellengleichung über, sie lautet
∀
(
t
,
x
)
∈
R
+
×
U
:
u
t
t
(
t
,
x
)
−
Δ
x
u
(
t
,
x
)
=
f
(
t
,
x
)
{\displaystyle \forall (t,x)\in \mathbb {R} ^{+}\times U:\ u_{tt}(t,x)-\Delta _{x}u(t,x)=f(t,x)}
Sie heißt homogen für
f
=
0
{\displaystyle f=0}
Wir bewiesen die Darstellungsformel für die Lösung im Ganzraum
(
0
,
∞
)
×
R
{\displaystyle (0,\infty )\times \mathbb {R} }
Satz
Seien
U
⊂
R
n
{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}
C
1
{\displaystyle C^{1}}
T
>
0
{\displaystyle T>0}
u
∈
C
2
(
U
T
¯
)
{\displaystyle u\in C^{2}({\overline {U_{T}}})}
u
t
t
−
Δ
u
=
0
in
U
T
u
=
0
auf
[
0
,
T
]
×
∂
U
{\displaystyle {\begin{aligned}u_{tt}-\Delta u=&0{\text{ in }}U_{T}\\u=&0{\text{ auf }}[0,T]\times \partial U\end{aligned}}}
Dann ist die Energie
e
:
[
0
,
T
]
→
R
,
t
↦
1
2
∫
U
u
2
(
t
,
x
)
+
(
∇
u
(
t
,
x
)
)
2
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}e:[0,T]\rightarrow \mathbb {R} ,t\mapsto {\frac {1}{2}}\int _{U}u^{2}(t,x)+(\nabla u(t,x))^{2}dx\end{aligned}}}
konstant, d.h
∀
t
∈
[
0
,
T
]
:
e
(
t
)
=
e
(
0
)
{\displaystyle \forall t\in [0,T]:\ e(t)=e(0)}
Beweis
Da
u
{\displaystyle u}
U
T
{\displaystyle U_{T}}
d
d
t
e
(
t
)
=
∫
U
(
u
t
u
t
t
+
∇
u
⋅
∂
t
(
∇
u
)
)
d
x
=
∫
U
(
u
t
u
t
t
+
∇
u
⋅
∇
u
t
d
x
=
∫
U
u
t
(
u
t
t
−
Δ
u
)
⏟
=
0
d
x
+
∫
∂
U
u
t
⏟
=
0
∇
u
⋅
N
d
S
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e(t)=&\int _{U}(u_{t}u_{tt}+\nabla u\cdot \partial _{t}(\nabla u))dx\\=&\int _{U}(u_{t}u_{tt}+\nabla u\cdot \nabla u_{t}dx\\=&\int _{U}u_{t}\underbrace {(u_{tt}-\Delta u)} _{=0}dx+\int _{\partial U}\underbrace {u_{t}} _{=0}\nabla u\cdot NdS(x)\\=&0\end{aligned}}}
Damit ist
e
{\displaystyle e}
Satz
Sei
U
⊂
R
n
{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}
C
1
{\displaystyle C^{1}}
T
>
0
{\displaystyle T>0}
u
,
v
∈
C
2
(
U
T
¯
)
{\displaystyle u,v\in C^{2}({\overline {U_{T}}})}
∀
(
t
,
x
)
∈
U
T
:
u
t
t
(
t
,
x
)
−
Δ
u
(
t
,
x
)
=
f
(
t
,
x
)
∀
(
t
,
x
)
∈
∂
p
a
r
U
T
:
u
(
0
,
x
)
=
g
(
0
,
x
)
∀
(
t
,
x
)
∈
{
0
}
×
U
:
u
t
(
0
,
x
)
=
h
(
0
,
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall (t,x)\in U_{T}:\ &u_{tt}(t,x)-\Delta u(t,x)=f(t,x)\\\forall (t,x)\in \partial _{par}U_{T}:\ &u(0,x)=g(0,x)\\\forall (t,x)\in \{0\}\times U:\ &u_{t}(0,x)=h(0,x)\end{aligned}}}
mit
f
∈
C
0
(
U
T
)
,
g
∈
C
2
(
∂
p
a
r
U
T
)
,
h
∈
C
1
(
U
)
{\displaystyle f\in C^{0}(U_{T}),g\in C^{2}(\partial _{par}U_{T}),h\in C^{1}(U)}
Beweis
Betrachte die Differenz
w
:=
u
−
v
∈
C
2
(
U
T
¯
)
{\displaystyle w:=u-v\in C^{2}({\overline {U_{T}}})}
∀
(
t
,
x
)
∈
U
T
:
w
t
t
(
t
,
x
)
−
Δ
w
(
t
,
x
)
=
0
∀
(
t
,
x
)
∈
∂
p
a
r
U
T
:
w
(
0
,
x
)
=
0
∀
(
t
,
x
)
∈
{
0
}
×
U
:
w
t
(
0
,
x
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall (t,x)\in U_{T}:\ &w_{tt}(t,x)-\Delta w(t,x)=0\\\forall (t,x)\in \partial _{par}U_{T}:\ &w(0,x)=0\\\forall (t,x)\in \{0\}\times U:\ &w_{t}(0,x)=0\\\end{aligned}}}
Da
w
∈
C
2
(
U
T
¯
)
{\displaystyle w\in C^{2}({\overline {U_{T}}})}
w
=
0
auf
[
0
,
T
]
×
∂
U
{\displaystyle {\begin{aligned}w=0{\text{ auf }}[0,T]\times \partial U\end{aligned}}}
Nach dem letzten Hilfssatz ist die Energie konstant
e
(
t
)
=
e
(
0
)
=
∫
U
w
t
2
(
0
,
x
)
+
(
∇
w
(
0
,
x
)
)
2
d
x
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}e(t)=e(0)=\int _{U}w_{t}^{2}(0,x)+(\nabla w(0,x))^{2}dx=0\end{aligned}}}
Somit
0
=
e
(
t
)
=
∫
U
w
t
2
(
t
,
x
)
+
(
∇
w
(
t
,
x
)
)
2
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}0=e(t)=\int _{U}w_{t}^{2}(t,x)+(\nabla w(t,x))^{2}dx\end{aligned}}}
Dann sind die einzelnen Terme unter dem Integral zwangsläufig Null
w
t
≡
0
{\displaystyle w_{t}\equiv 0}
∇
w
≡
0
{\displaystyle \nabla w\equiv 0}
U
T
{\displaystyle U_{T}}
w
=
konstant
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}w={\text{ konstant}}=0\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{tt}-\Delta u=&0{\text{ in }}U_{T}\\u=&0{\text{ auf }}[0,T]\times \partial U\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de8be42b8c5a666211aa364b9fc0c1a2df58c79)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e:[0,T]\rightarrow \mathbb {R} ,t\mapsto {\frac {1}{2}}\int _{U}u^{2}(t,x)+(\nabla u(t,x))^{2}dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f150ccea3793073644c4e1aee743d5743d85c4de)
![{\displaystyle \forall t\in [0,T]:\ e(t)=e(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c852e0cf7c4eb541e1ca4c42fbc1ef2ccc968090)
![{\displaystyle {\begin{aligned}w=0{\text{ auf }}[0,T]\times \partial U\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ae3b05fe2d50b5d9ed3e1db8467324b868c09b)
