Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Transportgleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wirBearbeiten

Wir setzen im Folgenden die Maßtheorie und Analysis II insbesondere die Existenz und Eindeutigkeit gewöhnlicher Differentialgleichungen voraus.

Wir betrachten die Transportgleichung zunächst für konstantes   und erhalten Existenz und Endeutigkeit inklusive einer Lösungsformel. Für nicht-konstantes   und die homogene Gleichung stellen wir fest, dass die Lösung entlang bestimmter Kurven - Charakteristiken genannt - konstant ist! Im inhomogenen Fall errechnet sich die Lösung entlang der Charakteristiken gemäß einer Differentialgleichung. .

Die Lösungen sind jeweils eine Verschiebung in Raum und Zeit, daher der Name Transportgleichung.

Die lineare TransportgleichungBearbeiten

Sei  , wobei   die Zeit ist und   der Ort.

Definition

Lineare Transportgleichung

Seien   gegeben. Sei   der Ortsgradient und sei   das Skalarprodukt auf  . Dann ist die lineare Transportgleichung definiert als

 

Das Anfangswertproblem ist eine Vorgabe des Anfangswertes durch eine Funktion   zur Zeit  , d.h. eine Lösung   der Gleichung, die zusätzlich erfüllt

 

Die Transportgleichung heißt linear, da sie nur linear von u und seinen Ableitungen abhängt, was sie erheblich leichter lösbar macht.

Die homogene Gleichung für konstantes bBearbeiten

Wir lösen die Gleichung erst einmal für konstantes b.

Satz

Sei   konstant und  . Dann lautet die lineare Transportgleichung

 

Für jedes   ist eine Lösung gegeben durch

 

Umgekehrt gilt: Ist   eine Lösung, so existiert ein   mit  

Insbesondere ist jede Lösung konstant entlang der Geraden   mit  . Diese Geraden haben deshalb einen eigenen Namen, sie heißen Charakteristiken.

Für   besitzt die Anfangswertaufgabe genau eine Lösung  

Beweis

v(x-bt) ist eine Lösung

Ableiten von   und Einsetzen in die partielle Differentialgleichung ergibt

 

Damit ist   eine Lösung der linearen Transportgleichung.

Sei   fest und betrachte die um  zeitverschobene Funktion  

 

Dann gilt  :

 

Somit ist   konstant und es folgt für  

 

Anfangswertaufgabe: Existenz der Lösung

Ganz analog rechnen wir

 

Eindeutigkeit der Lösung

Seien   zwei Lösungen und  . Dann gilt für  , da die Ableitung und das Skalarprodukt linear sind,

 

Wir haben oben gezeigt, dass dann eine Funktion   existiert mit  . Dann folgt

 

Die inhomogene Gleichung für konstantes bBearbeiten

Nun betrachten wir die Lösung für  .

Satz

Seien   und  . Dann besitzt die Anfangswertaufgabe

 

genau eine Lösung

 
To-Do:

Wie kommt man auf die Lösung? Man löst - siehe unten den inhomogenen Fall - eine Dgl und letzten Endes integriert entlang der Charakteristik das f auf.

Beweis

Existenz: Man kann im Folgenden Integral und Ableitung vertauschen, da die Ableitung von   stetig und ist. Wegen der Beschränktheit auf dem kompakten  , ist das Maximum von   die Majorante. Siehe

Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung

Ableiten der angegebenen Lösung ergibt

 

Einsetzen in die partielle Differenatialgleichung bestätigt die Lösung

 

Eindeutigkeit: Seien   zwei Lösungen und  . Dann gilt für  , da die Ableitung und das Skalarprodukt linear sind, dass   die homogene Differentialgleichung mit Anfangswertbedingung Null erfüllt

 

Wir haben oben gezeigt, dass dann eine Funktion   existiert mit  . Dann folgt

 

1. BeispielBearbeiten

Beispiel

Betrachte die lineare Transportgleichung

 

mit Anfangsbedingung Null  . Die eindeutige Lösung ist

 

Charakteristiken für nicht-konstantes b und homogenen Fall sind eindeutigBearbeiten

Die obigen Sätze galten für konstantes b. Jetzt wenden wir uns dem schwereren Fall   konstant zu, d.h. wir betrachten für   die Anfangwertaufgabe I

 

Jetzt müssen wir einen Umweg beschreiten: Wir müssen die Anfangswertaufgabe II

 

lösen, wie wir gleich sehen. Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung und da   hat sie eine eindeutige Lösung   auf einem maximalen Existenzintervall  .

Sei nun   eine Lösung der Anfangswertaufgabe I. Bilden wir die Zeitableitung und verwenden wir die partielle Differentialgleichung gilt

 

und   ist entlang jeder Lösungskurve   des Anfangswertproblems II konstant! Diese Kurven bekommen deshalb einen besonderen Namen: sie heißen Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung. Für konstantes   waren es Geraden, Wegen

 

gilt

 

und   mit   der Wert der Charakteristik bei  .

Satz (Charakteristiken sind eindeutig)

Die Charakteristiken des obigen Anfangswertproblems schneiden sich nicht.

Beweis (Charakteristiken sind eindeutig)

Seien   Lösungen der eindeutigen Anfangswertaufgabe

 

die sich in   treffen. Die Lösung ist jedoch eindeutig, d.h.   auf dem Existenzintervall und somit  , d.h. es ist die selbe Charakteristik.

Beispiel

Sei   konstant. Dann ist die Lösung von

 

die Gerade   auf  . Die Geradengleichung lässt sich eindeutig auflösen zu  , d.h.

 

Beispiele 2.)-4.)Bearbeiten

Beispiel

Sei  . Dann ist die Lösung von

 

die Kurve   mit  . Das lässt sich einduetig auflösen zu  , d.h.

 

Beispiel

Für   und   gibt es unendlich viele Lösungen.

Betrachte das Anfangswertproblem der gewöhnlichen Differentialgleichung

 

Wie kommt man auf die Lösung?

 

Überprüfe die Lösung

 

wie man durch Ableiten mit der Kettenregel und Einsetzen verifiziert, ist es die Lösung

 

Da der Nenner gegen Null geht und die Lösung damit gegen Unendlich, ergibt sich ein Definitionsbereich der Lösung abhängig vom Anfangswert   von

 

Zu   müssen wir nun ein eindeutiges   finden, durch das die Charakteristik geht. Dazu formen wir um

 

Da der Nenner gegen Null und damit   gegen Unendlich geht, ist die Lösung eindeutig mit der Einschränkung

 

Mit derselben Einschränkung gilt mit obiger Lösung, dass   auf der Charakteristik konstant ist

 

Damit ist die Lösung nicht für alle Paare   definiert. Dadurch können wir unendlich viele Lösungen konstruieren:

Betrachte Lösungen mit dem Anfangswert   für  . Das ergibt mit der gerade gezeigten Formel

 

Sei   eine beliebige stetig differenzierbare Funktion mit kompakten Träger, d.h.  . Setze damit

 

Wegen   gilt mit

 

dass der Träger der Funktion   im Bereich

 

liegt und ungleich der leeren Menge ist.

Wir rechnen nach, dass   eine Lösung des Anfangswertproblems ist

 

und

 

ergibt Einsetzen

 

und da es unendlich viele obige   gibt, gibt es unendlich viele Lösungen

1. AufgabeBearbeiten

Aufgabe

Gegeben sei   mit   und Anfangswerten  . Gesucht ist eine Lösung  .

Wie kommt man auf den Beweis?

Verwende charakteristische Kurven.

Beweis

Betrachte  . Dessen Ableitung ist

 

Forme die partielle Differentialgleichung um zu

 

Vergleich der beiden Gleichungen ergibt

 

Das ergibt   und erneutes Ableiten der zweitletzten Gleichung nach   und Einsetzen der letzten Gleichung ergibt

 

Analog

 

Die Lösung dieser gewöhnlichen Differentialgleichung ist

 

Charakteristiken für nicht-konstantes b und inhomogenen FallBearbeiten

Erneut betrachten wir den schweren Fall   konstant, aber dieses Mal die inhomogene Variante.

D.h. wir betrachten für   die Anfangswertaufgabe I

 

Auch diese lässt sich mittels Charakteristiken lösen, wobei   nicht mehr konstant ist längs der Charakteristiken, sondern sein Wert sich ermittelt gemäß der Anfangswertaufgabe III

 

Herleitung: Wie im homogenen Fall müssen wir die Anfangswertaufgabe II

 

lösen, wie wir gleich sehen. Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung und da   hat sie eine eindeutige Lösung u(x(t)) auf einem maximalen Existenzintervall  .

Sei nun   eine Lösung der Anfangswertaufgabe II. Bilden wir die Zeitableitung und verwenden wir die partielle Differentialgleichung gilt

 

und   berechnet sich entlang jeder Charakteristik   des Anfangswertproblems I gemäß dieser Differentialgleichung! Wegen

 

ist der Anfangswert für Anfangswertproblem III festgelegt.

5.) Beispiel und AufgabeBearbeiten

Beispiel

Sei  . Dann berechnen sich die Charakteristiken aus

 

zu

 

Das lässt sich eindeutig auflösen zu  . Dann ermittelt sich u gemäß

 

zu

 

Aufgabe

Sei   und   offen. Seien   gegeben, die das folgende partielle Differentialgleichungssystem erfüllen

 

Zeige, dass   die Telegraphengleichung erfüllen, d.h.

 

Wie kommt man auf den Beweis?

Löse die erste Gleichung auf nach   und setze ein in die zweite Gleichung.

Beweis

 

Für v analog.