Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Das Maximumprinzip der Laplacegleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“


Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen bewiesen.

MotivationBearbeiten

Wir folgern aus den Mittelwerteigenschaften des letzten Kapitels, dass eine harmonische Funktion ihr Maximum auf dem Rand annimmt. Daraus ergibt sich die Eindeutigkeit des Randwertproblems der Poissongleichung und zudem die stetige Abhängigkeit der Lösungen von den Randbedingungen: bei kleiner Änderung der Randbedingungen ändert sich die Lösung nur geringfügig. Das ist insbesondere in der Numerik von zentraler Bedeutung, wo man automatisch mit Ungenauigkeiten rechnet.

Der ZusammenhangBearbeiten

Dazu starten wir mit etwas Topologie: dem Begriff des Zusammenhangs. Genauere Erklärungen folgen detailliert im nächsten Kapitel.

Definition

  1. Eine Menge   heißt offen in   genau dann wenn es eine offene Menge   gibt sodass gilt  .
  2. Eine Menge   heißt abgeschlossen in   genau dann wenn   offen in   ist.
  3. Eine Menge   heißt zusammenhängend genau dann wenn sie nicht in zwei disjunkte, nicht-leere, in   offene Mengen zerlegt werden kann.

Das schwache und starke MaximumprinzipBearbeiten

Satz

Sei   offen und beschränkt und sei   harmonisch auf  .

1.) Schwaches Maximumprinzip:   nimmt sein Maximum über   auf dem Rand   an, in Formeln

 

Da mit   auch   harmonisch ist, gilt auch

 

2.) Starkes Maximumprinzip: Ist   zudem zusammenhängend und nimmt   im Inneren sein Maximum über   an

 

so ist   konstant auf  .

To-Do:

ein Bild macht anschaulich, dass das nur auf einer Zusammenhangskomponente gilt

Beweis

2.):

Da   stetig auf dem beschränkten und abgeschlossenen und damit kompakten  , nimmt es dort sein Maximum und Minimum an. Setze   als das Maximum von   in  . Sei

 

die Menge der   in  , in denen   sein Maximum annimmt. Da   in   sein Maximum nach Voraussetzung annimmt, gilt  .

Wir zeigen nun, dass   in   abgeschlossen und offen ist. Da   zusammenhängend ist, folgt dann  . Da   folgt  .

Abgeschlossenheit: Da der Punkt   in   abgeschlossen ist und da   stetig ist, ist

 

in   abgeschlossen nach Analysis II, da   abgeschlossen ist.

Offenheit: Sei   beliebig. Wähle einen Radius  , der kleiner ist als der Abstand von   zum Rand von  , d.h.

 

Betrachte nun die Kugel  . Annahme: es gibt ein   mit  .

Da   stetig ist gibt es eine offene Umgebung   von   in  , in der alle Werte von   kleiner als   sind

 

Das ergibt mit der Mittelwertformel des letzten Kapitels

 

d.h. ein Widerspruch.

Für alle   gilt daher  .

Somit ist für alle   eine ganze Kugel   in  . Damit ist   offen in  .

2.)   1.):

Eine offene und beschränkte Menge   lässt sich darstellen als disjunkte Vereinigung

 

offener, beschränkter, zusammenhängender Mengen  . (Das zeigen wir im nächsten Kapitel).

Wegen   ist das Maximum über   größer gleich dem Maximum über  

 

Sei   dabei das Maximum von   über den Abschluss  .

Annahme: Das Maximum werde im Inneren von   im Punkt   angenomnen, d.h.

 

  liegt in einer offenen beschränkten Zusammenhangskomponente   und mit 2.) folgt   auf ganz  .

Da der Rand der Zusammenhangskomponente   im Rand von   enthalten ist,   gilt dann

 

Das ergibt einen Widerspruch und die Annahme ist falsch.

Eindeutigkeit beschränkter Lösungen der PoissongleichungBearbeiten

Satz

Sei   offen und beschränkt. Seien  . Dann gibt es höchstens eine Lösung   des Randwertproblmes

 

Beweis

Seien   zwei Lösungen des Randwertproblems. Für   gilt dann

 

Mit dem Maximumprinzip folgt   für alle  .

Analog gilt für  

 

Mit dem Maximumprinzip gilt   für alle  . Insgesamt folgt   für alle  

Stetige Abhängigkeit der Poissongleichungs-Lösung von den RandbedingungenBearbeiten

Satz

Sei   offen und beschränkt. Seien  . Die Lösung   des Randwertproblmes

 

hängt stetig von den Randbedingungen ab in der  -Norm.

Beweis

Das ist eine Anwendung des Maximumprinzips und der Definition des Betrages