Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Quader- und Rechtecksfiguren

WiederholungBearbeiten

Um den Inhalt einer Fläche zu bestimmen, können wir diese von innen und von außen mit Rechtecken ausschöpfen bzw. überdecken:

Der Flächeninhalt jeder Ausschöpfung und Überdeckung ergibt sich aus den Flächeninhalten der jeweiligen Quaderfiguren. Dabei ist jede Ausschöpfung eine Abschätzung des tatsächlichen Flächeninhalts nach unten und jede Überdeckung eine Abschätzung nach oben. Kommt im Grenzwert bei der Ausschöpfung und der Überdeckung dasselbe heraus, so nennen wir diesen Grenzwert den Flächeninhalt.

In diesem Kapitel müssen wir die Eigenschaften der Quaderfiguren genauer betrachten, um den Jordan-Inhalt definieren zu können.

QuaderfigurenBearbeiten

Definition

Die Quaderfiguren definieren wir uns als endliche disjunkte Vereinigung von halboffenen Quadern.

 

InhaltsfunktionBearbeiten

Naheliegend ist, dass sie einer Quaderfigur (siehe das Bild)

die Summe der Flächen der Einzelquader zuordnet. Unsere Hoffnung ist, dass die Funktion wieder additiv wird, das ist ja die Zieleigenschaft für den Peano-Jordan-Inhalt..

Satz

 

ist wohldefiniert und additiv.

Beweis

1.) Unabhängigkeit von der Darstellung: Wir müssen zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist, d.h. wenn eine Quaderfigutr   anders dargestellt wird durch   (durch mehr oder weniger Unterteilungen oder durch anders gewählte Unterteilungen, siehe das Bild), darf sich der Wert der Summe nicht ändern.

Das führen wir darauf zurück, dass wir die gemeinsame Verfeinerung der Unterteilungen betrachten

und die Gleichheit der Summe dazu nachrechnen: Da der Schnitt zweier Quader wieder ein Quader ist Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Intervalle, Rechtecke und Quader gilt

 

Nun wenden wir das auf den Quadern   additive   an und erhalten

 

Aufsummiert über alle   folgt

 

Ganz analog wenden wir auf den einzelnen Quader

 

das auf   additive   an und erhalten

 

Aufsummiert über   folgt

 

Die rechte Seite kennen wir aber schon von oben und somit folgt

 

Damit ist die Summe unabhängig von der Darstellung von   wohldefiniert.

2.)   ist additiv: Die Summe ist gerade so konstruiert, dass   additiv wird: Seien   disjunkt. Einsetzen in   ergibt

 

Differenz von Quaderfiguren ist eine QuaderfigurBearbeiten

Wir wollen Quaderfiguren vereinigen. Ggf. überschneiden sich dann die Figuren. Wir wollen die Vereinigung darstellen als disjunkte Vereinigung, weil nur für disjunkte Vereinigungen unser Inhalt additiv ist. Dafür benötigen wir die Differenz.

Satz

Die Differenz zweier Quaderfiguren ist eine Quaderfigur: Mit   gilt auch  .

Beweis

Wir formen die Differenz   um, um den letzten Satz des vorherigen Kapitels Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Intervalle,_Rechtecke_und_Quader#Mehrfache_Differenz_von_Quadern anwenden zu können, den wir nur für diesen Zweck bewiesen haben und zwar

 

Jetzt wissen wir, dass die Elemente   gemäß dem letzten Kapitel eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern sind, d.h. es gibt   sodass

 

und damit erhalten wir, dass   ein Element aus   ist.

Vereinigung zweier Quaderfiguren ist eine QuaderfigurBearbeiten

Wir müssen die Vereinigung zweier Quaderfiguren darstellen als disjunkte Vereinigung von Quadern, dazu benötigen wir den letzten Satz über die Differenz von Quaderfiguren.

Satz

Die Vereinigung zweier Quaderfiguren ist eine Quaderfigur: Mit   gilt auch  .

Beweis

Wir müssen   als disjunkte Vereinigung von endlich vielen Quaderns schreiben, dazu formen wir um zu

 

Mit dem Satz darüber erhalten wir

 

und haben die gewünschte Darstellung.

Folgerungen für den InhaltsbegriffBearbeiten

To-Do:

Additivität des Inhalts

Aus diesen Erkenntnissen können wir Eigenschaften unserer Inhaltsfunktion auf Quaderfiguren folgern, welche sich mit unserem intuitiven Begriff eines Inhalts decken:

  • Der Inhalt ist monoton: Ist eine Menge A Teilmenge einer anderen Menge B, so muss der Inhalt von A kleiner oder gleich dem Inhalt von B sein.
  • Der Inhalt ist subadditiv: Bei Überschneidung von zwei Flächen A und B ist die Gesamtfläche kleiner als die Summe der Einzelflächen.

Monotonie des Inhaltes auf QuaderfigurenBearbeiten

Jetzt können wir ganz einfach die Monotonie des Inhaltes auf den Quaderfiuguren beweisen.

Satz

Seien  . Dann gilt:   ordnet größeren Mengen einen größeren Wert zu (Monotonie):

 

Beweis

Die Menge   lässt sich darstellen, als der Teil in   und der Teil außerhalb von  . Wir erhalten eine disjunkte Vereinigung

 

Darauf   angewendet ergibt mit der Additivität

 

Subadditivität des Inhalts auf QuaderfigurenBearbeiten

Wir wollen erreichen, dass unser Peano-Jordan-Inhalt additiv wird. Dafür benötigen wir folgende Ungleichung.

Satz (Eigenschaften von Inhalten: Subadditivität)

Seien   mit   und   ein Inhalt. Dann gilt: Die Fläche einer endlichen Vereinigung von Quaderfiguren ist kleiner gleich der Summe der Einzelflächen:

 

Beweis (Eigenschaften von Inhalten: Subadditivität)

Um die Additivität von   ausnutzen zu können, machen wir die Vereinigung künstlich disjunkt und verwenden dann die Monotonie:

Die zweifache Vereinigung   lässt sich darstellen als die Elemente, die in   sind und die Elemente, die in  , aber nicht   sind. Man erhält eine disjunkte Vereinigung:

 

Die dreifache Vereinigung   lässt sich darstellen als die Elemente, die in   sind, als die Elemente, die in  , aber nicht   sind und als die Elemente, die in  , aber nicht in   oder   sind. Man erhält eine disjunkte Vereinigung:

 

Die  -fache Vereinigung lässt sich dann als disjunkte Vereinigung darstellen durch

 

Nun lässt sich   anwenden und die Additivität ausnutzen:

 

Wegen   folgt mit der Monotonie für  

 


AusblickBearbeiten

Sowohl die endliche Differenz von Quaderfiguren als auch ihre endliche Vereinigung sind wiederum Quaderfiguren. In einem späteren Abschnitt werden wir sehen, dass das Mengensystem der Quaderfiguren einen Ring bildet.