Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Intervalle, Rechtecke und Quader

MotivationBearbeiten

Um den Inhalt einer Fläche zu bestimmen, können wir diese von innen und von außen mit Rechtecken ausschöpfen bzw. überdecken:

Der Flächeninhalt jeder Ausschöpfung und Überdeckung ergibt sich aus der Summe der Flächeninhalte der jeweiligen Einzelrechtecke. Dabei ist jede Ausschöpfung eine Abschätzung des tatsächlichen Flächeninhalts nach unten und jede Überdeckung eine Abschätzung nach oben. Stimmt der Grenzwert des Inhalts bei immer feinerer Ausschöpfung mit dem bei immer feinerer Überdeckung überein, so nennen wir diesen Grenzwert den Flächeninhalt.

Rechtecke sind also die Grundelemente, um den Inhalt einer Fläche zu bestimmen. Sie können gut zusammengelegt werden und ihr Flächeninhalt ist einfach bestimmbar:

Im Folgenden wollen wir formal definieren, was Rechtecke sind und ihre Eigenschaften kennenlernen. Diese werden wir im nächsten Abschnitt verwenden, um aus ihnen Eigenschaften von allgemeineren Quaderfiguren abzuleiten, durch welche wiederum allgemeinere Flächen durch Grenzübergänge angenähert werden können.

Da wir das Maß in beliebigen Räumen des   definieren wollen, werden wir das Konzept des Rechtecks allgemein für beliebig dimensionale Räume einführen. Auf der Gerade   sind dies Intervalle, in der Ebene   Rechtecke und im Raum   Quader. Diese Vorstellung können wir leider nicht für höhere Dimensionen fortführen, das Konzept jedoch schon.

Intervalle, Rechtecke und QuaderBearbeiten

Herleitung der DefinitionBearbeiten

Nehmen wir ein Rechteck in der Ebene:

To-Do:

Bild eines Rechtecks   in der Ebene in einem Koordinatensystem

Dieses Rechteck ist die Menge aller Punkte   mit   und  . Anders ausgedrückt, können wir das Rechteck als die Menge der Punkte   definieren, bei den   und   ist. Eine solche Menge   wird über das kartesische Produkt definiert:

 

Damit ermöglicht das kartesische Produkt die Definition eines Rechtecks in der Ebene. Allgemein sind es Mengen der Form  . Jedoch hat diese Definition einen Nachteil. Da die Ränder des Rechtecks zum Rechteck dazugehören, können wir die Rechtecke nicht überlappungsfrei aneinanderlegen. Wenn wir nämlich zwei Rechtecke aneinanderlegen, so liegen die Punkte der gemeinsamen Seite auf beiden Rechtecken (der dicke schwarze Balken in der Mitte):

Die Lösung hierzu ist, in der Definition nur halboffene Rechtecke zu betrachten, bei denen die linke und die untere Seite nicht zum Rechteck dazugehören. Dabei sollen im Bild die schwarz markierten Ränder zum halboffenen Rechteck hinzugehören, die nicht markierten Ränder nicht.

Vorteile halboffener Intervalle und Quader in der DefinitionBearbeiten

To-Do:

Erklärende Graphiken zu den genannten Vorteilen einfügen, die das Gesagte illustrieren

Als Grundintervall benutzen wir in den reellen Zahlen   das halboffene Intervall  . Dies hat einige Vorteile:

  • Die halboffenen Intervalle können lückenlos und ohne Überschneidung aneinandergelegt werden. Dies gilt auch für n-dimensionale Quader der Form  . Dies macht Überdeckungen und Ausschöpfungen durch Quader einfacher.
  • Der Schnitt des Intervalls   mit einem anderen Intervall   ist  . Dies ist (wenn die beiden Intervalle nicht disjunkt sind) wieder ein linksseitig offenes und rechtsseitig abgeschlossenes Intervall. Durch Schnitte erhält man also wieder ein Intervall desselben Typs. Auch dies gilt nicht nur für eindimensionale Intervalle, sondern auch für mehrdimensionale Quader der Form  .
  • Schneidet man aus einem Intervall   ein anderes Intervall   heraus, ist der Rest eine disjunkte Vereinigung von ein oder zwei halboffenen Intervallen der Form   und   (wenn   die Menge   beinhaltet, so ist die Differenz die leere Menge).
  • Die Vereinigung zweier halboffener Intervalle   und   ist wieder ein halboffenes Intervall für den Fall   (im Fall   ergeben sich wieder die beiden halboffenen Intervalle   und  ).

Halboffene Intervalle können also lückenlos zusammengelegt werden. Würden wir abgeschlossene Intervalle   oder offene Intervalle   betrachten, hätten wir diese schöne Eigenschaft nicht: Schneidet man aus einem Intervall   ein Intervall   heraus, so erhält man die leere Menge oder ein beziehungsweise zwei Intervalle der Form   und  , welche nicht abgeschlossen sind.

Ähnliches gilt für Quader höherer Dimension und deswegen betrachten wir linksseitig offene und rechtsseitig abgeschlossene Quader im  , d.h Mengen der Form  . Beispielsweise ist   ein solches halboffenes Rechteck im  . Rechtecke dieser Form werden wir „verallgemeinerte Quader“ oder kurz „Quader“ nennen. In der Geraden   sind unsere Quader von der Form  , in der Ebene   von der Form  , im Raum   von der Form  .

In der Literatur findet man auch andere Definitionen von Quadern, in denen auch offene und abgeschlossene Intervalle als Quader zugelassen sind. Das kommt daher, dass der "Flächeninhalt" des Randes einer Fläche normalwerweise null und somit irrelevant für die Flächenbestimmung ist. Die Reduktion auf halboffene Intervalle hat für Beweise aber große Vorteile, sie erspart uns umfangreiche Fallunterscheidungen.

DefinitionBearbeiten

Definition (Verallgemeinerte Quader)

Ein verallgemeinerter Quader im   ist eine Menge der Form   mit    . Dabei sehen wir die leere Menge auch als Quader an, die wir erhalten, wenn mindestens eines der halboffenen Intervalle   leer ist, also   gilt. Für die Menge   aller verallgemeinertern Quader im   gilt also:

 

Wir folgen in unserer Definition der Konvention, die leere Menge auch als Quader zu betrachten. Gerade in Beweisen ist dies hilfreich, da dort häufiger die leere Menge auftritt (beispielsweise beim Schnitt von Mengen) und wir so Fallunterscheidungen vermeiden können.

Inhalt eines QuadersBearbeiten

Der Inhalt eines Quaders ist naheliegend das Produkt der Seitenlängen. Dabei ist bei einem Quader   die Differenz   die Seitenlänge der  -ten Seite:

Definition (Inhalt eines Quaders)

Die Inhaltsfunktion   auf der Menge der Quader   bildet auf die positiven reellen Zahlen ab, indem sie das Produkt der Seitenlängen des Quaders berechnet.

 

Quader sind durchschnittsstabilBearbeiten

To-Do:

Ausführlicher motivieren, was uns diese Eigenschaft nützt/nützen wird:

  • die Stabilität von   gegenüber endlichen Schnitten werden wir schon im nächsten Abschnitt nutzen, um die Unabhängigkeits des Inhalts von Quaderfiguren von der gewählten Darstellung als endliche Vereinigung von halboffenen Quadern zu zeigen

MotivationBearbeiten

Das Besondere an halboffenen Rechtecken ist, dass der Schnitt zweier halboffener Rechtecke wieder ein halboffenes Rechteck ist, im Bild das violette Rechteck in der Mitte.

Dabei sind der obere und der rechte Rand mit einem schwarzen Balken markiert, um zu verdeutlichen, dass dieser Teil noch zum Rechteck gehört. Diese Eigenschaft wird im nächsten Kapitel benötigt, um die Eindeutigkeit des Inhaltes von Quaderfiguren (und somit auch die des Lebesguemaßes) zu garantieren.

SatzBearbeiten

Satz

Der Schnitt zweier Quader ist wieder ein Quader:

 

Beweis

Die Darstellungen von   seien wie folgt

 

Fall 1:  . Dann sind die beiden Quader disjunkt, ihr Schnitt ist also leer und liegt damit in  :

 

Fall 2: Der Schnitt beider Quader ist nichtleer, es gilt also  :

 

Differenz von QuadernBearbeiten

MotivationBearbeiten

To-Do:

ausführlichere Motivation: was wird uns dieser Satz nützen? Die Eigenschaft, dass die Differenz halboffener Rechtecke   eine disjunkte Vereinigung von halboffenen Rechtecken ist, werden wir im nächsten Abschnitt nutzen um zu zeigen, dass die Differenz zweier Quaderfiguren wieder eine endliche Quaderfigur ist

Bei der Differenz halboffener Rechtecke   erhalten wir eine disjunkte Vereinigung von halboffenen Rechtecken:

Diese Eigenschaft wird schon im nächsten Kapitel benötigt, um zwei Quaderfiguren vereinigen zu können. Diese Vereinigung können wir durch Differenzbildung als disjunkte Vereinigung von Quadern schreiben. Das setzt voraus, dass die Differenz von Quadern einfach zu handhaben ist.

Zudem benötigen wir die Differenz, um zu zeigen, dass der Inhalt von Quaderfiguren monoton ist. Das wiederum geht ein in die Definition des Peano-Jordan-Inhaltes.

Die Differenz von QuadernBearbeiten

Satz (Eigenschaften von Quadern)

Schneidet man einen Quader   aus einem Quader   heraus, so erhält man eine disjunkte Vereinigung von Quadern. In mathematischer Formulierung: Für alle Quader   gibt es eine natürliche Zahl  , sodass sich die Differenz   schreiben lässt als disjunkte Vereinigung von   Quadern  

 

Beweis (Eigenschaften von Quadern)

Wir führen den Beweis mittels Induktion nach der Dimension   des Raumes.

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für   bewiesen werden soll:

Für alle Quader   gibt es eine natürliche Zahl  , sodass sich die Differenz   schreiben lässt als disjunkte Vereinigung von   Quadern  

 

1. Induktionsanfang:

(für n=2): Das Komplement des roten Rechtecks   lässt sich darstellen durch folgende vier bunte Bereiche als eine disjunkte Vereinigung

  •  
  •  
  •    
  •    

In Formelschreibweise ist das

 

Diese 4 disjunkten Mengen werden bei der Berechnung von   geschnitten mit  . Das ergibt wieder 4 disjunkte Rechtecke  .

 

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

In Dimension   gilt

 

2b. Induktionsbehauptung:

Für   gibt es ebenfalls ein  , das obige Gleichung erfüllt.

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Das Komplement des Quaders   lässt sich darstellen durch die disjunkte Vereinigung von

  • allen Punkten, die in den ersten n Koordinaten in   liegen und in der n+1-ten Koordinate rechts von   liegen
  • allen Punkten, die in den ersten n Koordinaten in   liegen und in der n+1-ten Koordinate kleiner gleich   sind
  • allen Punkten, die in den ersten n Koordinaten im Komplement von   liegen und in der n+1-ten Koordinate in   liegen

In Formelschreibweise ist das:

 

Damit erhalten wir drei disjunkte Mengen, die wir mit   schneiden. Für die dritte entstehende Menge benutzen wir die Induktionsvoraussetzung, das ergibt

 

Mehrfache Differenz von QuadernBearbeiten

Im Folgenden verwenden wir   für die Dimension des Quaderraumes  , um   als typische Variable für die Induktion beizubehalten. Wenn wir mehrfach aus einem Quader andere Quader herausschneiden, sollte nichts Ungewöhnliches passieren, außer dass wir sehr viele kleine Quader erhalten. Und genauso ist es auch:

Satz

Seien   Quader. Dann gibt es endlich viele disjunkte Quader   , sodass gilt

 

Beweis

Wir verwenden Induktion nach  .

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für   bewiesen werden soll:

 

1. Induktionsanfang:

Der Induktionsanfang hentspricht der Aussage des letzten Satzes.

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

 

2b. Induktionsbehauptung:

 

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Den Induktionsschritt von   nach   erarbeiten wir uns wie folgt: Statt   Quader herauszuschneiden aus  , schneiden wir erst   Quader heraus und wissen nach Induktionsvoraussetzung, was das ergibt. In einem nächsten Schritt schneiden wir aus dem erhaltenen Ergebnis durch Umschreiben einen Quader heraus, nach Induktionsanfang wissen wir, was wir dann erhalten, d.h. wir verwenden in mathematischer Schreibweise

 

Den Wert der Formel in Klammern kennen wir nach Induktionsvoraussetzung  . Das setzen wir ein und formen um

 

Nun kennen wir den Wert in Klammern aus dem Induktionsanfang, es gibt also endlich viele kleine Quader, sodass  . Das setzen wir ein und erhalten

 

Das ergibt die gewünschte Darstellung als disjunkte Vereinigung kleiner Quader.

Additivität des InhaltsBearbeiten

MotivationBearbeiten

Die zentrale Eigenschaft des Peano-Jordan-Inhaltes ist die Additivität und die leiten wir uns nun schrittweise in jedem Kapitel her: hier für Quader, im nächsten Kapitel für Quaderfiguren und im darauffolgenden Kapitel für Peano-Jordan-Mengen. Das ist neben der Messbarkeit ein wichtiges Thema in der Maßtheorie.

Zerlegt man ein Rechteck in endlich viele Rechtecke, so ist die Summe der Flächen der einzelnen Rechtecke gleich der Fläche des großen Rechtecks. Dies entspricht genau unserer Intuition, muss jedoch formal bewiesen werden. So soll sich bei komplizierteren Mengen auch der Peano-Jordan-Inhalt verhalten, was er aber nur für die Peano-Jordan-messbare Mengen tut.

SatzBearbeiten

Satz

Unsere Flächen- bzw Volumenfunktion auf den Intervallen, Rechtecken und Quadern   bzw.  

 

ist additiv.

Beweis

Wir müssen die Additivität zeigen. Wir wissen, dass wir das Rechteck in endlich vielen Schritten unterteilt haben. Also verwenden wir Induktion nach der Anzahl   der Unterteilungen, um die Additivität zu zeigen.

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für bewiesen werden soll:

1. Induktionsanfang:

 : Wenn genau eine Unterteilung in zwei Rechtecke (oder verallgemeinerte Quader) vorliegt, dann wird genau eines der   Intervalle geteilt, d.h.

 

und man erhält aus   die zwei Rechtecke (oder verallgemeinerten Quader)

 

Deren Fläche bzw. verallgemeinertes Volumen wollen wir berechnen.

 

Addiert man die beiden und rechnet weiter, erhält man genau die Fläche (das Volumen) der Ausgangsmenge

 

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

Für   Unterteilungen, ist die Funktion additiv.

2b. Induktionsbehauptung:

Das gilt auch für   Unterteilungen

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Wir wissen schon, dass wir mit   Unterteilungen erreichen

 

Nun kommt eine weitere Unterteilung eines   hinzu. Das kennen wir schon aus dem Induktionsanfang:

 

Eingesetzt in die Formel folgt

 

Ausblick: HalbringeBearbeiten

Die Eigenschaften der halboffenen Quader, dass Schnitte wieder halboffene Quader sind und dass die Differenz eine endliche disjunkte Vereinigung von halboffenen Quadern ist, nennt man Halbring. Wir beweisen später die Maßtheorie gleich abstrakt für Halbringe und haben hier schon nachgerechnet, dass diese Eigenschaften erfüllt sind.