Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Jordan-Inhalt

Formale Herleitung und wichtige Eigenschaften des w:Jordan-Maß

Innerer und äußerer Peano-Jordan-InhaltBearbeiten

Definition

Sei  .

  1. Der innere Peano-Jordan-Inhalt ist definiert als
     

    Wir nehmen also das "Maximum" der Flächeninhalte von Quaderfiguren innerhalb von  . Da das Maximum eventuell durch Quaderfiguren nicht angenommen wird, wählen wir das Supremum, das immer existiert.

  2. Der äußere Peano-Jordan-Inhalt ist definiert als
     

    Wir nehmen also das "Minimum" der Flächeninhalte von Quaderfiguren, die   überdecken. Da das Minimum eventuell durch Quaderfiguren nicht angenommen wird, wählen wir das Infimum, das immer existiert.

  3. Die Menge   heißt Peano-Jordan-messbar genau dann wenn innerer und äußerer Peano-Jordan-Inhalt gleich sind
     

Der innere Inhalt ist kleiner als der äußereBearbeiten

Da der innere Inhalt berechnet wird über Quaderfiguren, die innerhalb   liegen, und der äußere berechnet wird über Quaderfiguren, die   überdecken, sollte der äußere Peano-Jordan-Inhalt immer größer sein als der innere. Und das ist auch der Fall:

Satz

Es gilt für jedes  

 

Beweis

Es gilt

 

Wir haben im letzten Kapitel gezeigt, dass der Inhalt auf den Quaderfiguren monoton ist Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Quader-_und_Rechtecksfiguren#Eigenschaft_eines_Inhalts:_Monotonie, daher folgt

 

Geht man links zum Supremum und rechts zum Infimum über, bleibt das Kleiner-Gleich-Zeichen erhalten.

 

Das ist aber genau die Definition von innerem und äußerem Peano-Jordan-Inhalt

 

Quaderfiguren sind messbar mit bekanntem InhaltBearbeiten

Für Quaderfiguren erwarten wir, dass sie messbar sind der Inhalt aus dem letzten Kapitel denselben Wert annimmt wie der Peano-Jordan-Inhalt. Das müssen wir dennoch kurz beweisen.

Satz

Quaderfiguren   sind Peano-Jordan-messbar und ihr Peano-Jordan-Inhalt ist genau der Inhalt, den wir in letztem Kapitel festgelegt haben

 

Beweis

Verwende   selbst als echtes Maximum der Ausschöpfungen von   mit Quaderfiguren und als echtes Minimum der Überdeckungen mit Quaderfiguren, das ergibt

 

Damit liegt der Wert fest und insbesondere sind Quaderfiguren Peano-Jordan-messbar.

Sub-/Superadditivität von äußerem/innerem InhaltBearbeiten

Wir wollen im übernächsten Satz die Additivität des Peano-Jordan-Inhaltes zeigen und benötigen dazu folgende zwei Ungleichungen .

Satz

Seien   beliebig. Dann gilt

  1. Der äußere Peano-Jordan-Inhalt ist subadditiv
     

    Wenn sich die Mengen überschneiden, ist anschaulich ihre Fläche kleiner als die Summe der Einzelflächen. Das sagt die Glechung aus.

  2. Seien die   zudem disjunkt. Dann ist der innere Peano-Jordan-Inhalt superadditiv
     

Beweis

Sei  . Da das äußere Maß als Infimum definiert ist, gibt es für jedes   ein   sodass

 

Weil die Vereinigung der   wieder eine Quaderfigur ist Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Quader-_und Rechtecksfiguren#Vereinigung_zweier_Quaderfiguren, die zudem   enthält, gilt mit der Definition des äußeren Maßes als Infimum

 

Mit der Subadditivität des Inhaltes auf Quaderfiguren Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Quader-_und_Rechtecksfiguren#Eigenschaft_von_Inhalten: Subadditivität folgen dann

 

Da   beliebig war, folgt die Behauptung.

Ganz analog folgt Superadditivität: Sei  . Da das innere Maß als Supremum definiert ist, gibt es für jedes   ein   sodass

 

Weil die disjunkte Vereinigung der   (da die   schon disjunkt waren) wieder eine Quaderfigur ist, die zudem   enthält, gilt mit der Definition des inneren Maßes als Supremum

 

Mit der Additivität des Inhaltes auf Quaderfiguren Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Quader-_und_Rechtecksfiguren#Inhaltsfunktion folgen dann

 

Da   beliebig war, folgt die Behauptung.

Der Peano-Jordan-Inhalt ist additivBearbeiten

Nun kommen wir zur entscheidenden Eigenschaft des Peano-Jordan-Imhaltes.

Satz

Seien   Peano-Jordan-messbar und disjunkt. Dann ist   Peano-Jordan-messbar und es gilt

 

Beweis

Mit dem letzten Satz folgt die Behauptung.

 

Eigenschaften des JordanmaßesBearbeiten

To-Do:

Inhalt statt Maß

To-Do:

Ergänzung: Der Jordan-Inhalt ist Subadditiv (wurde im vorherigen Abschnitt für Quaderfiguren gezeigt)

Zeige: Positivität und Monotonie von innerem und äußerem Jordan- Inhalt

Zeige: Nullmengen des äußeren Maßes sind Jordan-messbar.

Zeige:   für beschränkte Jordan-messbare   und beliebige (!)   Zeige : Sind   beschränkt und Jordan messbar, so auch   und  

Zeige: Sei   beschränkt und Jordan messbar. Dann ist die Klasse der Jordan-messbaren Teilmengen von   eine Algebra


Topologie:   und   etc...

Zeige   ist nicht Jordan-messbar.

Zeige die Menge   ist nicht Jordan-messbar, obwohl anschaulich der Flächeninhalt   sein müsste.

To-Do:

warum können diese Mengen disjunkt vereinigt werden? Konstruiere die zu vereinigenden Mengen, sodass sie disjunkt sind:  

Daher erweitern wir unsere Definition auf abzählbare Überdeckungen zum Lebesguemaß

LiteraturBearbeiten