Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Allgemeine Konstruktion eines Maßes

Wiederholung: Bestimmung des Lebesgue-Maßes in der EbeneBearbeiten

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  • Didaktische Überarbeitung

Wir haben intuitiv uns hergeleitet, wie wir das Maßproblem in der Ebene lösen können: Hierzu haben wir Mengen der Ebene in zwei Kategorien eingeordnet: „Gute“ bzw. messbare Mengen und „böse“ bzw. nicht messbare Mengen. Messbaren Menge kann man ein Flächeninhalt zuordnen, während es bei nicht messbaren Mengen nicht der Fall ist bzw. es entstehen Paradoxien, wenn man versucht nicht messbaren Mengen einen Flächeninhalt zuzuordnen. Um die messbaren Mengen der Ebene und ihren Flächeninhalt zu bestimmen, sind wir folgendermaßen vorgegangen:

  1. Rechtecke als Grundbausteine der Flächenbestimmung: Als Grundbausteine zur Flächenbestimmung haben wir Rechtecke gewählt. Ihr Flächeninhalt definieren wir als Produkt der Seitenlängen. Sie sind unsere kleinsten Einheiten, mit deren Hilfe wir andere Flächeninhalte bestimmen können. Dabei können wir ausnutzen, dass sich Rechtecke lückenlos zusammensetzen lassen.
  2. Flächeninhalt von Rechtecksfiguren: Wir betrachten nun Figuren, die sich aus nicht überschneidenden Rechtecken zusammensetzen. Deren Fläche haben wir naheliegend als Summe der Flächen der Einzelrechtecke definiert.
  3. Flächeninhalt von allgemeinen Figuren: Den Flächeninhalt von krummlinig berandeten Mengen haben wir sowohl von Innen als auch von außen mit Rechtecksfiguren abgeschätzt:
    1. Definition des inneren Maßes: Zunächst haben wir die Figuren von Innen mit maximal abzählbar unendlich vielen Rechtecken ausgefüllt. Der Flächeninhalt einer solchen Ausschöpfung war über die Reihe / unendliche Summe der Einzelflächeninhalte der Rechtecke definiert. Jeder dieser Ausschöpfung entsprach einer Abschätzung des tatsächlichen Flächeninhalts nach unten. Die beste Abschätzung (= Supremum) aller möglichen Ausschöpfungen wurde als inneres Maß definiert. Dieses innere Maß entspricht einer unteren Grenze für den tatsächlichen Flächeninhalt.
    2. Definition des äußeren Maßes: Dann haben wir Überdeckungen der gegebenen Figur mit maximal unendlich vielen Rechtecken betrachtet. Der Flächeninhalt einer solchen Überdeckung ist als Reihe / unendliche Summe der Einzelflächen der Teilrechtecke definiert. Der Flächeninhalt jeder Überdeckung entspricht einer Abschätzung des tatsächlichen Flächeninhalts nach oben. Die beste Abschätzung (= Infimum) aller möglichen Überdeckungen haben wir als äußeres Maß definiert. Dieses gibt eine obere Grenze für den tatsächlichen Flächeninhalt.
    3. Definition des Flächeninhalts messbarer Mengen: Wenn das innere und äußere Maß einer Figur gleich ist, so sehen wir diese Figur als „gutartig“ an. Man kann ihr sinnvoll einen Flächeninhalt zuordnen, den wir als den gemeinsamen Wert des äußeren und inneren Maßes definieren. Solche Mengen nennen wir deswegen „messbar“. Bei Mengen, deren äußeres und inneres Maß unterschiedlich ist, kann nicht sinnvoll ein Flächeninhalt definiert werden und diese werden dementsprechend als „nicht messbare Mengen“ bezeichnet.

Diesen Weg haben wir intuitiv bestritten: Es fehlen Beweise, dass unser so konstruiertes Maß existiert und dass es die Eigenschaften erfüllt, die ein Maß besitzen soll. Bevor wir uns aber die Arbeit machen, das Maß in der Ebene formal zu konstruieren, lohnt sich ein Blick auf die Metaebene. Unser Ziel ist es, eine in sich geschlossene Theorie für Maße zu finden. Maße finden sich an vielen Stellen:

  • Die Länge ist ein Maß für Teilmengen der eindimensionalen Geraden.
  • Der Flächeninhalt ist ein Maß für Teilmengen der Ebene.
  • Das Volumen ist ein Maß für die Größe von Objekten des Raums.
  • Das Wahrscheinlichkeitsmaß gibt an, wie wahrscheinlich ein Ergebnis ist.
  • ...

Nun kann man sich fragen, wie das Volumen einer Teilmenge im Raum konstruiert werden kann. Eine Idee ist es, ein Pedant zum Rechteck im Raum zu finden. Schließlich konnten wir allein über die Definition des Flächeninhalts eines Rechtecks den Flächeninhalt anderer zweidimensionaler Objekte bestimmen. Ein solches Pendant ist das Quader:

Durch Ersetzung des Begriffs „Rechteck“ mit „Quader“ sowie des Begriffs „Flächeninhalt“ mit „Volumen“ finden wir einen Weg, um dreidimensionalen Objekten ein Volumen zuzuordnen:

  1. Quader als Grundbausteine der Volumenbestimmung: Als Grundbausteine zur Volumenbestimmung wählen wir Quader. Ihr Volumen definieren wir als Produkt der Seitenlängen. Sie sind unsere kleinsten Einheiten, mit deren Hilfe wir andere Volumen bestimmen können. Dabei können wir ausnutzen, dass sich Quader lückenlos zusammensetzen lassen.
  2. Volumen von Quaderfiguren: Wir betrachten nun Körper, die sich aus nicht überschneidenden Quader zusammensetzen. Deren Volumen definieren wir naheliegend als Summe der Volumen der Einzelquader.
  3. Volumen von allgemeinen Körper: Das Volumen von krummlinig berandeten Mengen schätzen wir sowohl von Innen als auch von außen mit Quaderfiguren ab:
    1. Definition des inneren Maßes: Zunächst füllen wir die Körper von Innen mit maximal abzählbar unendlich vielen Rechtecken aus. Der Flächeninhalt einer solchen Ausschöpfung ist über die Reihe / unendliche Summe der Einzelvolumen der Quader definiert. Jeder dieser Ausschöpfung entspricht einer Abschätzung des tatsächlichen Volumens nach unten. Die beste Abschätzung (= Supremum) aller möglichen Ausschöpfungen definieren wir als inneres Maß. Dieses innere Maß entspricht einer unteren Grenze für das tatsächliche Volumen.
    2. Definition des äußeren Maßes: Dann betrachten wir Überdeckungen der gegebenen Figur mit maximal unendlich vielen Rechtecken. Das Volumen einer solchen Überdeckung ist als Reihe / unendliche Summe der Einzelvolumen der Teilquader definiert. Das Volumen jeder Überdeckung entspricht einer Abschätzung des tatsächlichen Flächeninhalts nach oben. Die beste Abschätzung (= Infimum) aller möglichen Überdeckungen definieren wir als äußeres Maß. Dieses gibt eine obere Grenze für das tatsächliche Volumen.
    3. Definition des Volumens messbarer Mengen: Wenn das innere und äußere Maß eines Körpers gleich ist, so sehen wir diesen als „gutartig“ an. Man kann ihm sinnvoll ein Volumen zuordnen, den wir als den gemeinsamen Wert des äußeren und inneren Maßes definieren. Solche Körper nennen wir deswegen „messbar“. Bei Mengen, deren äußeres und inneres Maß unterschiedlich ist, kann nicht sinnvoll ein Volumen definiert werden und diese werden dementsprechend als „nicht messbare Mengen“ bezeichnet.

Damit haben wir zwei Konstruktionswege, die wir beweisen müssen. Es wäre sehr aufwendig, wenn wir für jedes Maß neu einen Konstruktionsweg finden und beweisen müssten. Besser ist es, wenn wir einen Weg finden, wie wir alle Maße gleichermaßen definieren könnten. Das Beispiel mit der Länge deutet darauf hin, dass sich die Konstruktionswege für Maße ähneln. Für die Konstruktion der Länge nehmen beispielsweise Intervalle die Rolle ein, die Rechtecke bei der Konstruktion von Flächen hatten. Analog können Quader als Grundkörper benutzt werden, um das Volumen von dreidimensionalen Objekten zu bestimmen. Im Kern sollten die Konstruktionswege aber gleich bleiben.

Wenn wir diesen gemeinsamen Kern aller Konstruktionsprozesse abstrahieren, können wir nur den abstrahierten Konstruktionsprozess beweisen. So wissen wir, dass jedes Maß, welches nach dem abstrahierten Prozess konstruiert werden kann, wohldefiniert ist und die gewünschten Eigenschaften besitzt. Im folgenden wollen wir uns überlegen, wie dieser abstrahierte Konstruktionsweg aussieht.

HalbringeBearbeiten

Bei der Konstruktion des Flächeninhalts gehen wir von Rechtecken aus. Sie sind im Zweidimensionalen unsere kleinsten Elemente, mit deren Hilfe wir alle Flächen bestimmen. Im Eindimensionalen sind es die Intervalle und im Dreidimensionalen sind es die Quader. Gibt es nun gemeinsame Eigenschaften dieser kleinsten Elemente? Und lässt sich allein mit diesen gemeinsamen Eigenschaften eine Maßtheorie entwickeln? Wenn ja, hätten wir uns das Leben sehr vereinfacht, da wir gleich für alle drei Fälle die Lösung gleichzeitig erhielten. In allen drei Fällen lassen sich die Grundelemente lückenlos aneinanderlegen, was sie prädestiniert für eine Flächenbestimmung. Man probiert jetzt die Wirkung aller möglichen Mengenoperationen aus und sucht Gemeinsamkeiten. Zwei dieser Mengenoperationen werden uns im Folgenden genügen und diese wollen wir uns am Rechteck veranschaulichen: Den Schnitt und die Differenz von Rechtecken.

Der Schnitt zweier Rechtecke   ist wieder ein Rechteck, siehe folgendes Bild

Für beliebige Rechtecke oder   gibt es endlich viele disjunkte Rechtecke  , sodass für die Differenz von   und   gilt

 

In unserer Intuition können wir uns das für Rechtecke veranschaulichen:

Wir rechnen obige beide Eigenschaften allgemein für Intervalle, Rechtecke und (verallgemeinerte) Quader explizit nach. Weil diese Eigenschaften so zentral sind für die Grundelemente, bekommen sie einen eigenen Namen : sie heißen "Halbring". Dieser ist definiert als

  1. Die leere Menge ist im Halbring:
     
  2. Der Schnitt zweier Mengen   aus dem Halbring ist wieder im Halbring
     
  3. Für beliebige Elemente aus dem Halbring   gibt es endlich viele disjunkte Elemente   aus dem Halbring, sodass für die Differenz von   und   gilt
     

Nun können wir die folgenden Sätze allgemein auf Halbringen beweisen und benötigen keine Fallunterscheidung für die Dimensionen 1,2,3,... Damit haben wir Intervalle, Rechtecke und (verallgemeinerte) Quader gleichermaßen abgedeckt. Zu den Details geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/Halbring,_Intervalle_und_Rechtecke

RingeBearbeiten

Bisher haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader. Jetzt wollen wir auch Mengen betrachten, die aus diesen Grundelementen ohne sich zu überschneiden zusammengesetzt sind, wie z.B. die Figur, die aus sechs Rechtecken besteht in folgendem Bild

Dabei wollen wir uns auf die Kombination endlich vieler Grundelemente beschränken. Genau diese traten bei der Differenz von zwei Grundelementen auf. Selbstverständlich wollen wir auch damit umgehen können, sowohl im Eindimensionalem, als auch im Mehrdimensionalen. Erneut probieren wir alle möglichen Mengenoperationen durch, um Gemeinsamkeiten zu suchen. Und erstaunlicherweise sind es diesmal andere gemeinsame Mengenoperationen als wir bei den Grundelementen gefunden haben. Das wollen wir uns im Zweidimensionalen veranschaulichen.

Die Vereinigung zweier endlicher disjunkter Vereinigungen von Rechtecken   lässt sich schreiben als endliche disjunkte Vereinigung von Rechtecken:

 

Im Bild bleibt die Menge   als Ganzes erhalten, die Menge   müssen wir aufteilen in 4 blaue Rechtecke, wovon eines schon in   enthalten ist und somit drei verbleiben

Die Differenz zweier endlicher disjunkter Vereinigungen von Rechtecken   lässt sich wieder als disjunkte endliche Vereinigung von Rechtecken schreiben

 

Im Bild verbleiben von der Menge   nur die drei kleinen blauen Rechtecke, der Schnitt mit   geht verloren.

Erneut haben wir gemeinsame Eigenschaften für die endliche disjunkte Vereinigung von Intervallen, Rechtecken und (verallgemeinerten) Quadern gefunden. Diese bennen wir als "Ring":

  1. Die leere Menge ist im Ring:
     
  2. Die Vereinigung zweier Mengen   aus dem Ring ist wieder im Ring.
     
  3. Die Differenz zweier Mengen   aus dem Ring ist wieder im Ring
     

Den Ring stellen wir uns weiterhin in unserer Intuition als endliche disjunkte Vereinigung von (sich nicht überschneidenden, aber durchaus sich berührenden) Rechtecken vor (siehe das Bild)

Zu den Details geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/Ringe

Inhalt auf einem HalbringBearbeiten

Die Fläche von Rechtecken oder das Volumen von Quadern hatten wir als Produkt der Seitenlängen erkannt. Wenn wir ein Rechteck unterteilen in viele kleine Rechtecke, dann ist anschaulich die Summe der Flächen der kleinen Rechtecke genau die Fläche des Anfangsrechtecks.

Die Rechtecke wurden zu einem Halbring verallgemeinert. Unsere Flächenfunktion verallgemeinern wir nun zu dem Inhalt auf einem Halbring. Das ist einfach eine nicht-negative, additive Funktion  , die der leeren Menge die Null zuordnet und zudem gilt: Wenn wir ein Element des Halbringes (in unserer Intuition ein Rechteck)   in endlich viele disjunkte Elemente des Halbringes zerlegen, ist der Inhalt additiv:

 

Entscheidend ist dabei, dass die disjunkte Vereinigung   ein Element des Halbringes ist (in unserer Intuition ein Rechteck). Mit etwas Anderem kann die Inhaltsfunktion gar nicht umgehen, da sie auf dem Halbring operiert.

Zu den Details geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/Inhalte_und_Prämaße_auf_(Halb-)Ringen

Prämaß auf einem HalbringBearbeiten

Unterteilt man ein Rechteck in abzählbar unendlich viele Rechtecke (angedeutet auf dem folgenden Bild), so soll weiterhin die Summe der Flächen der kleinen Rechtecke genau die Fläche des Anfangsrechtecks ergeben.

das erscheint selbstverständlich, muss abr explizit gefordert oder nachgerechnet werden. Unsere Flächenfunktion für Rechtecke erfüllt das zum Glück.

Wir führen als Verallgemeinerung für Halbringe das Prämaß auf einem Halbring ein, das ist ein Inhalt, wobei: Wenn wir ein Element des Halbringes (in unserer Intuition ein Rechteck)   in abzählbar viele disjunkte Elemente des Halbringes zerlegen, ist das Prämaß abzählbar additiv:

 

Wir nennen diese Eigenschaft "sigma-additiv". Entscheidend ist dabei, dass   ein Element des Halbringes ist. Mit etwas Anderem kann das Prämaß gar nicht umgehen, da es auf dem Halbring operiert. Zu den Details geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/Inhalte_und_Prämaße_auf_(Halb-)Ringen

Inhalt und Prämaß auf einem RingBearbeiten

Das war die Konstruktion auf den Halbringen, d.h. in unserer Intuition auf den Rechtecksmengen. Jetzt wollen wir das fortsetzen auf den eindeutigen Ring der disjunkten endlichen Vereinigungen. Mit endlichen disjunkten Vereinigungen eines Ringes können der Inhalt und das Prämaß auf dem Halbring bisher nicht umgehen. Naheliegend ist, dass sie dem Ring einer endlichen disjunkten Vereinigung von Halbring-Elementen (siehe das Bild)

die Summe der Einzelmengen zuordnen. Genau das beweisen wir in einem kleinen Fortsetzungssatz. Zu den Details geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/Inhalte_und_Prämaße_auf_(Halb-)Ringen

Sigma-Algebren oder die "guten" MengenBearbeiten

Unsere geometrischen Figuren sind mit den Rechtecksfiguren etwas komplexer geworden, aber noch recht primitiv. Wir wollen auch Objekte wie Kreisflächen handhaben. Dazu wollen wir das System der "guten" Mengen einführen, die Mengen, denen die zu definierende Maßfunktion ein eindeutiges Maß zuordnen kann (in unserer Intuition im Zweidimensionalen eine eindeutige Fläche der Menge). Diese haben die folgenden Eigenschaften und die Eigenschaften bekommen den Namen "Sigma-Algebra".

  1. Die Grundmenge   ist in der Sigma-Algebra  :
     
  2. Das Komplement eines Elementes   der Sigma-Algebra ist wieder in der Sigma-Algebra  .
     
  3. Die abzählbare Vereinigung von Elementen   der Sigma-Algebra ist wieder in der Sigma-Algebra  .
     

Die Sigma-Algebra lässt sehr komplexe Gebilde zu, sie lässt sich anschaulich kaum fassen. Daher betrachten wir die von einem Erzeugendensystem erzeugte Sigma-Algebra. Diese lässt sich einfacher handhaben, auch in Beweisen: man beweist die Sigma-Algebren-Eigenschaft der Aussage und zudem die Aussage auf dem Erzeugendensystem und erhält automatisch die Aussage auf der erzeugten Sigma-Algebra. So machen wir es auch im Maßfortsetzungssatz.

Man könnte versuchen die "guten" Mengen darzustellen als abzählbare disjunkte Vereinigung von Rechtecken, aber dafür sind die "guten" Mengen zu "kompliziert" aus den Rechtecken konstruiert, da man den Prozess der abzählbaren Vereinigung und Komplementbildung ggf. unendlich oft wiederholen muss, um das ganze Mengensystem der "guten" Mengen zu erhalten. Wir gehen daher einen Umweg im Maßfortsetzungssatz und erhalten tatsächlich eine eindeutige Fortsetzung des Flächenbegriffes auf die "guten" Mengen.

Das MaßBearbeiten

Ein Maß ist eine nicht-negative Funktion auf einer Sigma-Algebra   die der leeren Menge Null zuweist und abzählbaren disjunkten Vereinigungen von Elementen der Sigma-Algebra die Summe der Einzelmaße zuweist:

 

Das ist dieselbe Eigenschaft wie beim Prämaß, nur hat sich der Definitionsbereich sehr stark vergrößert.

Das äußere Maß als beweistechnisches HilfsmittelBearbeiten

Wir definieren das äußere Maß einer beliebigen Teilmenge durch "minimale" Überdeckung von außen durch abzählbar viele Ring-Elemente (oder gleichwertig durch disjunkte Halbring-ELemente), siehe das Bild.

Dann rechnen wir nach, dass das äußere Maß   folgende Eigenschaften erfüllt:

  1. Das äußere Maß der leeren Menge ist Null:
     
  2. Das äußere Maß ist monoton:
     
  3. Das äußere Maß einer abzählbaren Vereinigung ist kleiner gleich der Summe der äußeren Maße der Einzelmengen:
     

Das ist schon recht nah dran an den Eigenschaften eines Maßes.

Die Sigma-Algebra der allgemein guten MengenBearbeiten

Lebesgue definierte die Sigma-Algebra der ""allgemein guten" Mengen mittels dem äußeren und inneren Maß. Wir gehen einen kürzeren Weg, der zum selben Ergebnis führt: Wir definieren die Sigma-Algebra der "allgemein guten" Mengen mit dem äußeren Maß und mit einer Gleichung, die für die "allgemein guten" Mengen erfüllt sein muss. Die "allgemein guten" Mengen sind dabei an das äußere Maß angepasst: ist das Prämaß anspruchslos, wie z.B. das Punktmaß, sind alle Mengen allgemein gute Mengen, ist das Prämaß anspruchsvoller, wie das Lebesguemaß, so sind eben nur bestimmte Mengen "allgemein gute" Mengen.

Der MaßfortsetzungssatzBearbeiten

Wir zeigen, dass das Prämaß sich fortsetzen lässt zu einem Maß. Der Halbring ist in der Sigma-Algebra der "allgemein guten" Mengen enthalten und das neue Maß nimmt auf dem Halbring denselben Wert an wie das ursprüngliche Prämaß. Damit ist eine Fortsetzung gefunden.

Dynkinsysteme als beweistechnisches HilfsmittelBearbeiten

Nun haben wir eine Maßfortsetzung gefunden und es stellt sich sofort die Frage nach der Eindeutigkeit. Wir betrachten das Mengensystem, für das zwei Maße gleich sind. Unsere Maße können aber nur mit disjunkten Vereinigungen umgehen. Daher benötigen wir für den Beweis des Eindeutigkeitssatzes ein an das Maß angepasstes Mengensystem, das "Dynkinsystem" mit folgenden Eigenschaften:

  1. Die Grundmenge   ist Dynkinsystem:
     
  2. Das Komplement eines Elementes   des Dynkinsystemes ist wieder im Dynkinsystem
     
  3. Die disjunkte abzählbare Vereinigung von Elementen   des Dynkinsystems ist wieder im Dynkinsystem
     

Wir zeigen dann, dass bei einem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem wie einem Halbring die erzeugte Sigma-Algebra und das erzeugte Dynkinsystem gleich sind. Damit nehmen wir viel Arbeit vorweg für die

Eindeutigkeit der MaßfortsetzungBearbeiten

Lässt sich die Grundmenge   mit abzählbar vielen Mengen endlichen Maßes ausschöpfen, so gelangen wir zum Eindeutigkeitssatz. Das Forderung der endlichen Maße benötigen wir für die Komplementbildung des betrachteten Dynkinsystems.

Vervollständigung von MaßenBearbeiten

Wir haben von den "allgemein guten" Mengen gesprochen, diese sind umfangreicher als die guten Mengen, die sich aus dem Halbring durch abzählbare Vereinigung, Komplementbildung und Grundmenge konstruieren lassen. Es kommen aber nur genau die Mengen hinzu, die in einer Menge vom Maß Null enthalten sind.

Unlösbarkeit des klassischen MaßproblemesBearbeiten

Am Ende zeigen wir für Interessierte noch die Unlösbarkeit des klassischen Maßproblemes. Der Beweis des Satzes Banach-Tarski ist uns zu umfangreich.