Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Eindeutigkeit der Maßfortsetzung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $\mathbb {R}$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{2}$ Flächen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{3}$ Volumina und bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{p}$ mit $p\geq 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\emptyset ,A\cap B\in H$ und $A\backslash B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit $A,B\in R$ sind auch $\emptyset ,A\cup B,A\backslash B\in R$). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben uns das System der "guten" Mengen definiert als Sigma-Algebra (dort gilt mit $A_{n}\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n},A_{n}^{C},\emptyset \in S$) und sigma-additive Maße darauf betrachtet. Als beweistechnisches Hilfsmittel haben wir äußere Maße definiert und gezeigt, dass zu diesem eine Sigma-Algebra der "allgemein guten Mengen" existiert, sodass das äußere Maß auf der Sigma-Algebra ein Maß wird. Es stellte sich heraus, dass die von dem Halbring erzeugte Borelsche Sigma-Algebra in der zu dem äußeren Maß gehörigen Sigma-Algebra enthalten ist und das erhaltene Maß eine Fortsetzung des Prämaßes ist. Damit ist die Existenz der Maßfortsetzung gezeigt. Wir haben dann Dynkinsysteme untersucht als beweistechnisches Hilfsmitel (dort gilt mit $A_{n}\in D$ sind auch $\biguplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n},A_{n}^{C},\emptyset \in D$). Damit können wir nun die Eindeutigkeit beweisen.

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Definition sigma-endlich

Definition (sigma-endliche Maße)

Ein Maß auf $S$ heißt sigma-endlich genau dann wenn es eine monoton steigende Folge von Mengen $(A_{n})_{n}$ in $S$ gibt, d.h. $A_{n}\subset A_{n+1}$, deren Maß endlich ist und deren abzählbare Vereinigung die ganze Grundmenge $W$ ergibt, in Formeln

${\begin{array}{rcl}\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}&=&W\\\forall n\in \mathbb {N} :m(A_{n})&<&\infty \end{array}}$

Erzeugung endlicher Maße

Schneidet man alle zu betrachtenden Mengen mit einer festen Menge endlichen Maßes, erhält man ein neues Maß, das endlich ist.

Satz

${\displaystyle }$

Ist $m$ ein Maß auf $S$ und $C\in S$ mit endlichem Maß

$m(C)<\infty$

so ist

$m(C\cap \cdot ):S\rightarrow [0,\infty ),A\mapsto m(C\cap A)$

ein endliches Maß auf $S$, d.h.

$\forall A\in S:\ m(C\cap A)<\infty$

Beweis

Die Eigenschaften eines Maßes folgen direkt aus den Maß-Eigenschaften von $m$

${\begin{aligned}m(C\cap A)\geq &0\\m(C\cap \emptyset )=&m(\emptyset )=0\\m\left(C\cap \biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=&m\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }(C\cap A_{i})\right)=\sum _{i=1}^{\infty }m(C\cap A_{i})\\m(C\cap A)\leq &m(C)<\infty \end{aligned}}$

Eindeutigkeit von Maßen

Jetzt können wir schon den Eindeutigkeitssatz beweisen.

Satz (Eindeutigkeit von Maßen)

Das Erzeugendensystem $E\subset Pot(W)$ sei durchschnittsstabil.

$m_{1}$ und $m_{2}$ seien zwei Maße auf $S(E)$, die auf dem Erzeugendensystem $E$ übereinstimmen und es gebe eine sigma-endliche Folge $(C_{n})_{n}$ im Erzeugendensystem $E$, d.h.

${\begin{array}{rcl}C_{n}&\subseteq &C_{n+1}\\\bigcup _{n=1}^{\infty }C_{n}&=&W\\\forall n\in \mathbb {N} :m_{1}(C_{n})&=&m_{2}(C_{n})<\infty \end{array}}$

Dann gilt $m_{1}=m_{2}$ auf $S(E)$

Beweis (Eindeutigkeit von Maßen)

Wie für Maße nicht anders zu erwarten, geht der Beweis über ein Dynkinsystem, da dieses an Maße optimal angepasst ist,

1.):

Zeige: Die Mengen aus $S(E)$, die nach Schnitt mit einem $C_{n}$ dasselbe Maß haben, d.h.

$D_{C_{n}}:=\{B\in S(E):m_{1}(B\cap C_{n})=m_{2}(B\cap C_{n})\}$

bilden ein Dynkinsystem.

Wir rechnen die Eigenschaften nach:

a) $W\in D_{C_{n}}$: Da die Maße auf dem Erzeugendensytem nach Voraussetzung übereinstimmen und $C_{n}\in E$ folgt

$m_{1}(W\cap C_{n})=m_{1}(C_{n}){\stackrel {C_{n}\in E}{=}}m_{2}(C_{n})=m_{2}(W\cap C_{n})$

b) Aus $B\in D_{C_{n}}$ folgt $B^{C}\in D_{C_{n}}$:

Da $m(C_{n}\cap \cdot )$ ein endliches Maß ist, gilt da $B$ nach Voraussetzung in $D_{C_{n}}$ ist

${\begin{aligned}m_{1}(B^{C}\cap C_{n})=&m_{1}(C_{n})-m_{1}(B\cap C_{n})\\{\stackrel {B\in D_{C_{n}}}{=}}&m_{2}(C_{n})-m_{2}(B\cap C_{n})\\=&m_{2}(B^{C}\cap C_{n})\end{aligned}}$

Hier ging die Voraussetzung der sigma-Endlichkeit ein.

c) Aus $B_{i}\in D_{C_{n}}$ folgt $\biguplus _{i=1}^{\infty }B_{i}\in D_{C_{n}}$:

Da $m$ ein Maß ist und da die $B_{i}$ nach Voraussetzung in $D_{C_{n}}$ liegen, folgt

${\begin{aligned}m_{1}\left(\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }B_{i}\right)\cap C_{n}\right)=&m_{1}\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }(B_{i}\cap C_{n})\right){\stackrel {m_{1}{\text{ Maß}}}{=}}\sum _{i=1}^{\infty }m_{1}(B_{i}\cap C_{n})\\{\stackrel {B_{i}\in D_{C_{n}}}{=}}&\sum _{i=1}^{\infty }m_{2}(B_{i}\cap C_{n})\\{\stackrel {m_{2}{\text{ Maß}}}{=}}&m_{2}\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }(B_{i}\cap C_{n})\right)=m_{2}\left(\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }B_{i}\right)\cap C_{n}\right)\end{aligned}}$

2.):

Sei $C\in E$ beliebig. Wegen $C\cap C_{n}\in E$ und da die Maße auf $E$ gleich sind, gilt

$m_{1}(\underbrace {C\cap C_{n}} _{\in E}){\stackrel {Vor}{=}}m_{2}(\underbrace {C\cap C_{n}} _{\in E})$

Das ist aber genau die Definition für die Zugehörigkeit von $C\in E$ zu $D_{C_{n}}$!

Somit sind alle $C\in E$ in $D_{C_{n}}$, d.h.

${\begin{array}{rcl}\forall C\in E:C&\in &D_{C_{n}}\\E&\subset &D_{C_{n}}\\\end{array}}$

Da $D_{C_{n}}$ ein Dynkinsystem ist, das nun das Erzeugendensytsem $E$ enthält und da $D(E)$ das kleinste Dynkinsystem ist, das $E$ enthält, folgt

$D(E)\subset D_{C_{n}}$

Da das Erzeugendensystem durchschnittsstabil ist, folgt mit dem letzten Satz des vorigen Kapitels, dass

$D(E)=S(E)$

Das ergibt natürlich

$S(E)\subset D_{C_{n}}$

Es gilt also für alle $A\in S(E)$ und für alle $N\in \mathbb {N}$

${\begin{array}{rcl}m_{1}(A\cap C_{N})&{\stackrel {S(E)\subset D_{C_{N}}}{=}}&m_{2}(A\cap C_{N})\end{array}}$

Wir schreiben den Grundraum als disjunkte Vereinigung

$W=\bigcup _{n=1}^{\infty }C_{n}=\biguplus _{n=1}^{\infty }\left(C_{n}\backslash C_{n-1}\right)$

und nutzen die Sigma-Additivität des Maßes

${\begin{array}{rcl}m_{1}(A)&=&m_{1}(A\cap W)=m_{1}\left(A\cap \biguplus _{n=1}^{\infty }\left(C_{n}\backslash C_{n-1}\right)\right)\\&=&\sum _{n=1}^{\infty }m_{1}\left(A\cap \left(C_{n}\backslash C_{n-1}\right)\right)\\&=&\lim _{N\rightarrow \infty }m_{1}\left(A\cap \biguplus _{n=1}^{N}\left(C_{n}\backslash C_{n-1}\right)\right)\\&=&\lim _{N\rightarrow \infty }m_{1}(A\cap C_{N})\\&{\stackrel {S(E)\subset D_{C_{N}}}{=}}&\lim _{N\rightarrow \infty }m_{2}(A\cap C_{N})\\&{\stackrel {\text{analog}}{=}}&m_{2}(A)\end{array}}$

und die beiden Maße $m_{1}$ und $m_{2}$ sind gleich auf $S(E)$.

Eindeutigkeit des Lebesguemaßes

Es folgt in einem ganz kurzen Beweis die Eindeutigkeit unseres Lebesguemaßes auf der Vervollständigung von der Borelschen Sigma-Algebra.

Satz

Eindeutigkeit von $l^{p}$

Es gibt eine eindeutige Fortsetzung der sigma-additiven Volumenfunktion $l^{p}:F^{p}\rightarrow [0,\infty )$ auf die Borelsche Sigma-Algebra $S(F^{p})=S({\text{offene Mengen}})$. Diese nennen wir Lebesguemaß.

Beweis

Der gerade bewiesene Satz läßt sich anwenden, da die (verallgemeinerten) Quader $(-n,n]$ monoton steigend sind und ganz $\mathbb {R} ^{p}$ ausschöpfen. Ihr Maß bleibt aber jeweils endlich, in Formeln:

${\begin{aligned}&(-n,n]\uparrow \mathbb {R} \\&\forall n\in \mathbb {N} :\ l^{p}((-n,n])=(2n)^{p}<\infty \end{aligned}}$

Aufgabe 1: Notwendigkeit der Durchschnittsstabilität

Aufgabe (Durchschnittsstabilität erforderlich)

Zeige, dass die Forderung durchschnittsstabil für die Eindeutigkeit der Maße notwendig ist.

Betrachte dazu $W=\{0,1,2,3\}$ und das Erzeugendensystem $E=\{\{0,1\},\{1,2\},\{2,3\}\}$. Konstruiere zwei Maße auf der erzeugten Sigma-Algebra $Pot(W)$, die auf $E$ gleich sind.

Lösung (Durchschnittsstabilität erforderlich)

Wähle als ein Maß $m_{1}$ das Zählmaß, d.h. $\forall 0\leq i\leq 3:m(\{i\})=1$. Wähle als zweites Maß $m_{2}(\{0\})=m_{2}(\{2\})=0,5$ und $m_{2}(\{1\})=m_{2}(\{3\})=1,5$

Auf $E$ sind beide gleich und ergeben jeweils den Wert $2$.