Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Das Dynkin-System – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $\mathbb {R}$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{2}$ Flächen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{3}$ Volumina und bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{p}$ mit $p\geq 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\emptyset ,A\cap B\in H$ und $A\backslash B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit $A,B\in R$ sind auch $\emptyset ,A\cup B,A\backslash B\in R$). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben uns das System der "guten" Mengen definiert als Sigma-Algebra (dort gilt mit $A_{n}\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n},A_{n}^{C},\emptyset \in S$) und sigma-additive Maße darauf betrachtet. Als beweistechnisches Hilfsmittel haben wir äußere Maße definiert und gezeigt, dass zu diesem eine Sigma-Algebra der "allgemein guten Mengen" existiert, sodass das äußere Maß auf der Sigma-Algebra ein Maß wird. Es stellte sich heraus, dass die von dem Halbring erzeugte Borelsche Sigma-Algebra in der zu dem äußeren Maß gehörigen Sigma-Algebra enthalten ist und das erhaltene Maß eine Fortsetzung des Prämaßes ist. Damit ist die Existenz der Maßfortsetzung gezeigt. Nun interessiert uns die Eindeutigkeit. dafür benötigen wir ein beweistechnisches Hilfsmittel, ein Mengensystem das der Sigma-Algebra ähnlich ist und optimal an Maße angepasst ist. Dieses heißt Dynkinsystem.

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Definition des Dynkinsystems

Im Kapitel über Eigenschaften von Inhalten und Prämaßen hatten wir in den Beweisen jeweils disjunkte Vereinigungen konstruiert, um die (Sigma-)Additivität von $m$ benutzen zu können. Jetzt betrachten wir ein Mengensystem, das automatisch nur disjunkte abzählbare Vereinigungen enthält, sodass die Sigma-Additivität der Flächenfunktion direkt anwendbar wird.

Definition (Dynkinsystem)

Das Mengensystem $D\subset Pot(W)$ heißt Dynkinsystem genau dann wenn

1. Die Grundmenge ist in $D$: $W\in D$
2. Komplemente sind wieder in $D$: Aus $A\in D$ folgt $A^{C}\in D$
3. Disjunkte abzählbare Vereinigungen sind wieder in $D$: Aus $\forall n\in \mathbb {N} :\ A_{n}\in D$ folgt $\biguplus _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D$

Insbesondere ist $Pot(W)$ ein Dynkinsystem.

Beweis

Da $Pot(W)$ alle Teilmengen von $W$ umfasst, ergeben sich die Eigenschaften eines Dynkinsytems automatisch.

${\begin{aligned}W\in Pot(W)&\\A\in Pot(W)\Rightarrow &A^{C}\in Pot(W)\\\forall n\in \mathbb {N} :\ A_{n}\in Pot(W)\Rightarrow &\biguplus _{n=1}^{\infty }A_{n}\in Pot(W)\end{aligned}}$

Aufgabe 1: Alle Dynkinsysteme über $\{0,1,2,3\}$

Wir wollen alle Dynkinsysteme über der Menge $\{0,1,2,3\}$ bestimmen. Das geht ganz analog wie bei den Sigma-Algebren, siehe Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Die_Sigma-Algebra WIr erhalten nur drei neue Dynkinsysteme, der Rest der Dynkinsysteme sind die bekannten Sigma-Algebren. Aber man sieht an dieser Aufgabe den Unterschied zwischen beiden Mengensystemen in der Konstruktion und im Ergebnis.

Aufgabe (Mögliche Dynkinsysteme)

Bestimme alle Dynkinsysteme über der Menge $\{0,1,2,3\}$.

Wie kommt man auf den Beweis? (Mögliche Dynkinsysteme)

Überlege, welche Mengen in jedem Dynkinsystem sind und dann nimm einzelne Mengen schrittweise hinzu, um komplexere Dynkinsysteme zu konstruieren.

Vorgehensweise: Die leere Menge $\emptyset$ und die gesamte Menge $\{0,1,2,3\}$ sind in jedem Dynkinsystem.

Nun nehmen wir die Menge $\{0\}$ hinzu, und schauen, welches Dynkinsystem sich ergibt. Analog ergibt sich für $\{1\},\{2\}$ und $\{3\}$ ein anderes Dynkinsystem.

Dann nehmen wir zwei der Einpunktmengen hinzu und betrachten das erzeugte Dynkinsystem.

Analog nehmen wir drei Einpunktmengen hinzu.

Nun schauen wir noch, ob sich aus den Zweipunktmengen und Dreipunktmengen mit dem selben Verfahren verschiedene Dynkinsysteme ergeben.

Lösung (Mögliche Dynkinsysteme)

0.) Die Grundmenge $\{0,1,2,3\}$ ist nach Definition in jedem Dynkinsystem. Über ihr Komplement ist auch die leere Menge $\emptyset$ in jedem Dynkinsystem.

Das einfachste Dynkinsystem ist

$\{\emptyset ,\{0,1,2,3\}\}$

1.)Nun nehmen wir die Menge $\{0\}$ hinzu, und schauen, welches Dynkinsystem sich ergibt. Mit dem Komplement ${\color {Red}\{0\}^{C}=\{1,2,3\}}$ ergibt sich

$\{\emptyset ,\{0\},{\color {Red}\{1,2,3\}},\{0,1,2,3\}\}$

Durch disjunkte Vereinigung oder Komplementbildung kommen keine weitere Mengen hinzu, d.h. wir haben das erzeugte Dynkinsystem gefunden. Wenn wir das für die anderen Einpunktmengen analog machen, erhalten wir

Die Einpunktmengen erzeugen 4 Dynkinsysteme

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{1\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{2\},\{0,1,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{3\},\{0,1,2\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

2.) Nun nehmen wir die zwei Einpunktmengen $\{0\},\{1\}$ und betrachten das erzeugte Dynkinsystem. Da die Komplemente ${\color {Red}\{0\}^{C}=\{1,2,3\}}$ und ${\color {Red}\{1\}^{C}=\{0,2,3\}}$auch in dem Dynkinsystem liegen, ergibt sich

$\{\emptyset ,\{0\},\{1\},{\color {Red}\{1,2,3\},\{0,2,3\}},\{0,1,2,3\}\}$

Auch endliche und abzählbare disjunkte Vereinigungen liegen in dem Dynkinsystem und mit ${\color {Blue}\{0\}\uplus \{1\}=\{0,1\}}$ kommt wir eine weitere Menge hinzu:

$\{\emptyset ,\{0\},\{1\},{\color {Blue}\{0,1\}},\{1,2,3\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}$

Erneut liegt auch das Komplement ${\color {OliveGreen}\{0,1\}^{C}=\{2,3\}}$ in dem Dynkinsystem, sodass wir zum endgültigen von \{0\} und \{1\} erzeugten Dynkinsystem gelangen:

$\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\},{\color {OliveGreen}\{2,3\}},\{1,2,3\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}$

Durch disjunkte Vereinigung oder Komplementbildung kommen keine weitere Mengen hinzu, d.h. wir haben das erzeugte Dynkinsystem gefunden. Wenn wir das für alle Paare von Einpunktmengen analog machen, erhalten wir

Die Paare von Einpunktmengen erzeugen 6 Dynkinsysteme

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\},\{2,3\},\{1,2,3\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{0\},\{2\},\{0,2\},\{1,3\},\{1,2,3\},\{0,1,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{0\},\{3\},\{0,3\},\{1,2\},\{1,2,3\},\{0,1,2\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\},\{0,3\},\{0,1,3\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{1\},\{3\},\{1,3\},\{0,2\},\{0,1,2\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{2\},\{3\},\{2,3\},\{0,1\},\{0,1,2\},\{0,1,3\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

3.) Mit drei Einpunktmengen ist durch ihre disjunkte Vereinigung ${\color {Red}\{0\}\uplus \{1\}\uplus \{2\}=\{0,1,2\}}$ und deren Komplement ${\color {Red}\{0,1,2\}^{C}=\{3\}}$ auch die vierte Einpunktmenge in dem erzeugten Dynkinsystem enthalten

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{2\},{\color {Red}\{3\},\{0,1,2\}},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

Aus den 4 einzelnen Punktmengen lassen sich durch disjunkte Vereinigung aber alle Teilmengen der Grundmenge erzeugen, wir erhalten also

Die Kombination von drei Einpunktmengen erzeugt ein weiteres Dynkinsystem: die Potenzmenge

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{2\},\{3\},\{0,1\},\{0,2\},\{0,3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\\\{0,1,2\},\{0,1,3\},\{0,2,3\},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

Das waren die Einpunktmengen.

4.) Nun betrachten wir das Dynkinsystem, das von der Zweipunktmenge $\{0,1\}$ erzeugt wird. Da das Komplement ${\color {Red}\{0,1\}^{C}=\{2,3\}}$ auch in dem Dynkinsystem enthalten ist, ergibt sich

$\{\emptyset ,\{0,1\},{\color {Red}\{2,3\}},\{0,1,2,3\}\}$

Durch disjunkte Vereinigung oder Komplementbildung kommen keine weitere Mengen hinzu, d.h. wir haben das erzeugte Dynkinsystem gefunden. Insgesamt erhalten wir

Die Zweipunktmengen erzeugen 3 neue Dynkinsysteme

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0,1\},\{2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{0,2\},\{1,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{0,3\},\{1,2\},\{0,1,2,3\}\}\\\end{aligned}}$

5.) Mit zwei komplementären Zweipunktmengen, wie z.B. $\{0,1\}$ und $\{2,3\}$ erhalten wir dasselbe, da sie gegenseitig das Komplement sind und das Dynkinsystem abgeschlossen ist gegenüber Komplementbildung.

6.) Für die nicht komplementären Zweipunktmengen $\{0,1\},\{1,2\}$ erhalten wir durch disjunkte Vereinigung nichts Neues, aber durch Komplementbildugn die Mengen ${\color {Blue}\{0,3\}},{\color {Blue}\{2,3\}}$, das ergibt

$\{\emptyset ,\{0,1\},\{1,2\},{\color {Blue}\{0,3\}},{\color {Blue}\{2,3\}},\{0,1,2,3\}\}$

Durch disjunkte Vereinigung oder Komplementbildung kommen keine weitere Mengen hinzu, d.h. wir haben das erzeugte Dynkinsystem gefunden. Die erzeugte Sigma-Algebra war hingegen die Potenzmenge!

Zwei nicht komplementäre Zweipunktmngen erzeugen 3 neue Dynkinsysteme, die keine Sigma-Algebra sind.

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0,1\},\{1,2\},\{0,3\},\{2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{0,1\},\{1,3\},\{0,2\},\{2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{0,2\},\{1,2\},\{1,3\},\{0,3\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

7.) Bei drei zweielementigen Teilmengen sind zweie komplementär und es ergibt sich das selbe Ergebnis wie unter 6.).

8.) Aus der einelementigen $\{0\}$ und der zweielementigen $\{0,1\}$ Menge ergibt sich durch Komplementbildung

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{0,1\},{\color {Red}\{2,3\}},{\color {Red}\{1,2,3\}},\{0,1,2,3\}\}\\\end{aligned}}$

Disjunkte Vereinigung erzeugt eine weitere blaue Menge

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{0,1\},\{2,3\},{\color {Blue}\{0,2,3\}},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

Komplementbildung erzeugt die grün markierte Menge

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\},\{2,3\},{\color {OliveGreen}\{0,2,3\}},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

Durch disjunkte Vereinigung oder Komplementbildung kommen keine weitere Mengen hinzu, d.h. wir haben das erzeugte Dynkinsystem gefunden. Dieses hatten wir schon oben bestimmt. Es ist das von $\{0\}$ und $\{1\}$ erzeugte.

9.) Aus der einelementigen $\{0\}$ und der disjunkten zweielementigen $\{2,3\}$ Menge ergibt sich durch Komplementbildung

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},{\color {Red}\{0,1\}},\{2,3\},{\color {Red}\{1,2,3\}},\{0,1,2,3\}\}\\\end{aligned}}$

und wieder mit disjunkter Vereinigung

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{0,1\},\{2,3\},{\color {Blue}\{0,2,3\}},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

und erneute Komplementbildung das Dynkinsystem

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},{\color {Green}\{1\}},\{0,1\},\{2,3\},\{0,2,3\},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

Dieses hatten wir schon oben bestimmt. Es ist das von $\{0\}$ und $\{1\}$ erzeugte.

10.) Aus dreielementigen Mengen entstehen durch Komplementbildung dieselben Dynkinsysteme wie aus einelementigen Mengen, und diese haben wir oben schon bestimmt.

Jetzt haben wir alle gesuchten Dynkinsysteme gefunden. Alle erzeugten Sigma-Algebren treten als erzeugte Dynkinsysteme auf, was wir unten allgemein beweisen.

Der Schnitt von Dynkinsystemen

Erneut suchen wir das kleinste Dynkinsystem, dazu benötigen wir wieder den folgenden Satz.

Satz (Der Schnitt von Dynkinsystemen)

Seien $\forall j\in J:\ D_{j}$ Dynkinsysteme. Dann ist der Schnitt

$D:=\bigcap _{j\in J}D_{j}$

wieder ein Dynkinsystem.

Beweis (Der Schnitt von Dynkinsystemen)

Seien $\forall i\in \mathbb {N} :\ A_{i}\in D=\bigcap _{j\in J}D_{j}$.

Da $D$ der Schnitt ist, sind die $A_{i}$ in allen $D_{j}$ enthalten:

$\forall i\in \mathbb {N} \ \forall j\in J:A_{i}\in D_{j}$

Da alle $D_{j}$ Dynkinsysteme sind, gilt

${\begin{aligned}\forall j\in J:\ &W\in D_{j}\\\forall j\in J:\ &A_{i}^{C}\in D_{j}\\\forall j\in J:\ &\biguplus _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in D_{j}\end{aligned}}$

Da $D$ der Schnitt der $D_{j}$ ist, sind die erzeugten Mengen wieder in $D$ enthalten

${\begin{aligned}W\in &\bigcap _{j\in J}D_{j}\\A_{i}^{C}\in &\bigcap _{j\in J}D_{j}\\\biguplus _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in &\bigcap _{j\in J}D_{j}\end{aligned}}$

Das erzeugte Dynkinsystem

Definition (Das erzeugte Dynkinsystem)

Sei $E\subset Pot(W)$ ein beliebiges Mengensystem und seien $(D_{j})_{j\in J}$ alle Dynkinsysteme über $W$, die $E$ enthalten. Dann heißt

$D(E)=\bigcap _{j\in J}D_{j}$

das von $E$ erzeugte Dynkinsystem. Es ist das kleinste Dynkinsystem über $W$, das $E$ enthält.

Beweis

Wir haben gerade gezeigt, dass $Pot(W)$ ein Dynkinsystem ist. Dieses enthält $E$. Damit ist der Schnitt nicht leer

$J\neq \emptyset$.

Wir haben im vorherigen Satz gezeigt, dass der Schnitt von Dynkinsystemen wieder ein Dynkinsystem ist. Zudem enthalten alle Dynkinsysteme, über die geschnitten wird, $E$. Damit ist $D(E)$ ein Dynkinsystem, das $E$ enthält und eines der $D_{k}$, über die rechts geschnitten wird.

$D(E)=D_{k}$

Als Schnitt ist $D(E)$ das kleinste solche.

Aufgabe 2: erzeugte Dynkinsysteme

Aufgabe (Erzeugte Dynkinsysteme)

Seien $A,B\subset W$. Bestimme das erzeugte Dynkinsystem.

Wie kommt man auf den Beweis? (Erzeugte Dynkinsysteme)

Unterscheide die Fälle $A\cap B=\emptyset ,A\subset B$ und sonst.

Lösung (Erzeugte Dynkinsysteme)

a) $A\cap B=\emptyset$: Durch disjunkte Vereinigung kommt die Menge $A\uplus B$ hinzu.

$D=\{\emptyset ,A,B,A\uplus B,W\}$

Über Komplemente kommen drei neue, rot markierte Mengen hinzu

$D=\{\emptyset ,A,B,A\uplus B,{\color {Red}A^{C},B^{C},A^{C}\cap B^{C}},W\}$

Weitere neue Mengen ergeben sich nicht durch disjunkte Vereinigung oder Komplementbildung und wir haben das erzeugte Dynkinsystem gefunden.

b) $A\subset B$: Es kommt $A\uplus B^{C}$ aus der disjunkten Vereinigung hinzu

$D=\{\emptyset ,A,B,A\uplus B^{C},W\}$

Über das Komplement ergeben sich die drei rot markierten zusätzlichen Mengen

$D=\{\emptyset ,A,B,A\uplus B^{C},{\color {Red}A^{C},B^{C},A^{C}\cap B},W\}$

Weitere neue Mengen ergeben sich nicht durch disjunkte Vereinigung oder Komplementbildung und wir haben das erzeugte Dynkinsystem gefunden.

c) sonst: Es sind keine neuen disjunkten Vereinigungen möglich, es kommen nur die Komplemente hinzu

$D=\{\emptyset ,A,B,A^{C},B^{C},W\}$

Weitere neue Mengen ergeben sich nicht durch disjunkte Vereinigung oder Komplementbildung und wir haben das erzeugte Dynkinsystem gefunden.

Durchschnittsstabilität

Das Dynkinsystem ist angepasst an die sigma-additiven Funktionen. Es stellt aber eine starke Einschränkung dar, nur disjunkte Vereinigungen zuzulassen. Gilt aber zudem die Eigenschaft, dass Schnitte wieder im Dynkinsystem sind können wir ausrechnen, dass auch beliebige, nicht-disjunkte Vereinigungen im Dynkinsystem sind. Dieses ist dann eine Sigma-Algebra. Deshalb führen wir den folgenden Begriff ein:

Definition (Durchschnittsstabilität)

Das Mengensystem $M\subset Pot(W)$ heißt durchschnittsstabil genau dann wenn

$\forall A,B\in M:\ A\cap B\in M$

Eigenschaften von Dynkinsystemen

Satz (Eigenschaften von Dynkinsystemen)

1. Ist $S$ Sigma-Algebra, so ist $S$ ein Dynkinsystem
2. $D(E)\subset S(E)$
3. Ist $D$ ein Dynkinsystem und durchschnittsstabil, so ist $D$ eine Sigma-Algebra.
4. Ist $D(E)$ durchschnittsstabil, so gilt $D(E)=S(E)$

Beweis (Eigenschaften von Dynkinsystemen)

1.) Seien $A_{i}\in S$ disjunkt. $\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}$ ist nach Definition eine abzählbare Vereinigung und somit wieder in der Sigma-Algebra.

Damit ist jede Sigma-Algebra ein Dynkinsystem.

2.) $S(E)$ ist nach 1.) ein Dynkinsystem, das $E$ enthält.

$E\subset S(E)$

$D(E)$ ist das kleinste solche Dynkinsystem, d.h.

$D(E)\subset S(E)$

3.) Wir müssen eine beliebige Vereinigung als Vereinigung disjunkter Mengen darstellen und dafür endliche Schnitte und Komplemente verwenden:

Eine zweifache Vereinigung lässt sich schreiben als die Elemente in $A_{1}$ und die Elemente in $A_{2}$, die nicht in $A_{1}$ liegen:

$A_{1}\cup A_{2}=A_{1}\uplus (A_{2}\cap A_{1}^{C})$

Eine dreifache Vereinigung lässt sich schreiben als die Elemente in $A_{1}$, als die Elemente in $A_{2}$, die nicht in $A_{1}$ liegen und also die Elemente in $A_{3}$, die nicht in $A_{1}$ oder $A_{2}$ liegen

$A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}=A_{1}\uplus (A_{2}\cap A_{1}^{C})\uplus (A_{3}\cap A_{1}^{C}\cap A_{2}^{C})$

Eine $n$-fache Vereinigung lässt sich disjunkt schreiben als

$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\uplus \biguplus _{i=2}^{n}\left(A_{i}\cap \bigcap _{j=1}^{i-1}A_{j}^{C}\right)$

Eine abzählbare Vereinigung lässt sich disjunkt schreiben als

$\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=\biguplus _{i=1}^{\infty }\underbrace {\left(A_{i}\cap \bigcap _{j=1}^{i-1}A_{j}^{C}\right)} _{\in D{\text{ nach Vor.}}}\in D$

4.) Da $D(E)$ durchschnittsstabiles Dynkinsystem ist, das $E$ enthält, ist es nach 1.) eine Sigma-Algebra, die $E$ enthält.

$S(E)$ ist die kleinste Sigma-Algebra die E enthält, d.h.

$S(E)\subseteq D(E)$

Die andere Inklusion gilt nach 2.) allgemein, sodass die Gleichheit folgt

$S(E)=D(E)$

Das Dynkinsystem mit durchschnittstabilem Erzeugendensytem

Es genügt sogar zu fordern, dass nur das Erzeugendensystem durchschnittsstabil ist, um aus dem Dynkinsystem eine Sigma-Algebra zu machen! Und unser später betrachtetes Erzeugendensytsem eines Ringes ist durchschnittsstabil.

Satz (Eigenschaften von Dynkinsystemen)

Ist $E$ durchschnittsstabil, so gilt

$D(E)=S(E)$

Beweis (Eigenschaften von Dynkinsystemen)

$D(E)\subset S(E)$: gilt allgemein.

$D(E)\supset S(E)$:

Mit dem letzten Satz müssen wir nach 2.) zeigen, dass $D(E)$ durchschnittsstabil ist.

Anschaulich suchen wir also alle Mengen, für die der Schnitt wieder in $D(E)$ ist.

Setze für ein beliebiges $B\in D(E)$ dazu

$D_{B}:=\{Q\subset W:Q\cap B\in D(E)\}$

d.h. in $D_{B}$ sind alle Mengen, die nach Schnitt mit $B$ in $D(E)$ liegen

a) $D_{B}$ ist ein Dynkinsystem:

Wir rechnen einfach die Eigenschaften nach:

1.)

Wegen

$W\cap B=B\in D(E)$

gilt $W\in D_{B}$,

2.)

Sei $A\in D_{B}$ beliebig. Wegen der Definition von $D_{B}$ und da Komplemente wieder im Dynkinsystem $D(E)$ sind gilt

${\begin{aligned}A\in D_{B}{\stackrel {{\text{Def }}D_{B}}{\iff }}&A\cap B\in D(E)\\\iff &(A\cap B)^{C}\in D(E)\\\iff &A^{C}\cup B^{C}\in D(E)\end{aligned}}$

Wegen der Darstellung

${\begin{aligned}A^{C}\cap B=(A^{C}\cup B^{C})\cap B\end{aligned}}$

und da die rechte Seite nach der Definition in $D_{B}$ ist, folgt

${\begin{aligned}A^{C}\in D_{B}\end{aligned}}$

3.) Seien $A_{i}\in D_{B}$ disjunkt. Mit der Definition von $D_{B}$ und da $D(E)$ als Dynkinsystem abgeschlossenen gegenüber disjunkten abzählbaren Vereinigungen ist, gilt

${\begin{aligned}A_{i}\in D_{B}{\stackrel {{\text{Def }}D_{B}}{\iff }}&A_{i}\cap B\in D(E)\\\iff &\biguplus _{i=1}^{\infty }(A_{i}\cap B)\in D(E)\\\iff &\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\cap B=\biguplus _{i=1}^{\infty }(A_{i}\cap B)\in D(E)\\\end{aligned}}$

Mit der Definition von $D_{B}$ ist das genau die Bedingung dafür, dass die disjunkte Vereinigung der $A_{i}$ in $D_{B}$ ist

${\begin{aligned}\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\in D_{B}\end{aligned}}$

b) Zeige $D(E)\subset D_{B}$: Das Ziel ist, dass $D(E)$ durchschnittsstabil ist. Wenn für ein beliebiges $B\in D(E)$ der Schnitt mit allen anderen Elemente aus $D(E)$ wieder in $D_{B}$ ist, ist genau das erfüllt.

Seien also $C_{1},C\in E$ beliebig.

Da das Erzeugendensystem durchschnittsstabil ist, gilt

$C_{1}\cap C\in E$

Das ergibt mit der Definition von $D_{C}$

${\begin{array}{rcl}&&\forall C_{1}\in E:\ C\cap C_{1}\in E\subset D(E)\\&{\stackrel {{\text{Def }}D_{C}}{\Rightarrow }}&\forall C_{1}\in E:\ C_{1}\in D_{C}\\&\iff &E\subset D_{C}\\\end{array}}$

Da $D_{C}$ ein Dynkinsystem ist, das $E$ enthält und $D(E)$ das kleinste Dynkinsystem ist, das $E$ enthält, folgt

${\begin{aligned}D(E)\subset D_{C}\end{aligned}}$

Da auch $C\in E$ beliebig gewählt war, folgt mit der Definition von $D_{C}$ und $D_{B}$

${\begin{array}{rcl}&&\forall C\in E:\ D(E)\subset D_{C}\\&\iff &\forall C\in E\ \forall B\in D(E):\ B\in D_{C}\\&{\stackrel {{\text{Def }}D_{C}}{\Rightarrow }}&\forall C\in E\ \forall B\in D(E):\ B\cap C\in D(E)\\&{\stackrel {{\text{Def }}D_{B}}{\Rightarrow }}&\forall C\in E\ \forall B\in D(E):\ C\in D_{B}\\&\iff &\forall B\in D(E)\forall C\in E\ :\ C\in D_{B}\\&\iff &\forall B\in D(E):E\subset D_{B}\\\end{array}}$

Dabei hat man geschickt die Definition von $D_{B}$ und $D_{C}$ nacheinander ausgenutzt.

Da wir bewiesen haben, dass $D_{B}$ ein Dynkinsystem ist, hier gerade sehen, dass $E\subset D_{B}$ und da $D(E)$ das kleinste Dynkinsystem ist, das $E$ enthält folgt mit der Definition von $D_{B}$

${\begin{array}{rcl}&{\stackrel {D(E){\text{ kleinste}}}{\Longrightarrow }}&\forall B\in D(E):\ D(E)\subset D_{B}\\&\iff &\forall B\in D(E),\forall A\in D(E):A\in D_{B}\\&{\stackrel {{\text{Def von}}D_{B}}{\Rightarrow }}&\forall A,B\in D(E):A\cap B\in D(E)\end{array}}$

Damit sind Schnitte zweier Mengen aus $D(E)$ wieder in $D(E)$ und es folgt insgesamt

$S(E)=D(E)$