MathGymOS/ LGS/ Das Einsetzungsverfahren

Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:

${\begin{array}{cccccc}(1)&5\cdot x_{1}&+&3\cdot x_{2}&=&5\\(2)&3\cdot x_{1}&+&1\cdot x_{2}&=&-1\end{array}}$

Durch Einsetzen eines Terms für eine Variable, soll diese eliminiert werden. Daher muss eine der Gleichungen zunächst nach dieser Variable aufgelöst werden. Exemplarisch wird hier die Gleichungen (2) nach $\left.x_{2}\right.$ aufgelöst:

${\begin{array}{ccccccccccc}(2)&3\cdot x_{1}&+&x_{2}&=&-1&&&|&-&3x_{1}\\(2^{*})&&&x_{2}&=&-1&-&3\cdot x_{1}\end{array}}$

Dieser Term $\left.(-1-3\cdot x_{1})\right.$ kann jetzt anstelle von $\left.x_{2}\right.$ in Gleichung (1) eingesetzt werden. (Klammersetzung beachten!)

${\begin{array}{cccccccccc}(1)&5\cdot x_{1}&+&3&\cdot &&x_{2}&&=&5\\&5\cdot x_{1}&+&3&\cdot &(-1&-&3\cdot x_{1})&=&5\\\end{array}}$

Auflösen der Klammern und Zusammenfassen führt zu:

${\begin{array}{ccccccc}5\cdot x_{1}&-&3&-&9\cdot x_{1}&=&5\\-4\cdot x_{1}&-&3&&&=&5\end{array}}$

Anschließend wird nach der verbliebenen Variablen $\left.x_{1}\right.$ aufgelöst:

${\begin{array}{cccccccc}-4\cdot x_{1}&-&3&=&5&|&+&3\\-4\cdot x_{1}&&&=&8&|&:&(-4)\\x_{1}&&&=&-2\end{array}}$

Der Wert für die erste Variable ist also gefunden, durch Einsetzen des Ergebnisses in die bereits aufgelösten Gleichungen (2*) erhält man den zweiten gesuchten Wert.

${\begin{array}{cccccccc}(2^{*})&x_{2}&=&-1&-&3x_{1}\\&x_{2}&=&-1&+&6\\&x_{2}&=&5\end{array}}$

Die Lösungen lauten also $\left.x_{1}=-2\right.$ und $\left.x_{2}=5\right.$.

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