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Koordinatensysteme

Kartesisches Koordinatensystem

Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein Koordinatensystem, in dem die Abszissen- (horizontale Achse) und die Ordinatenachse (vertikale Achse) senkrecht aufeinander stehen.

Alle Achsen besitzen den selben Maßstab (viele Lehrer machen aber von dieser Regel einige Ausnahmen). Ebenso müssen sie beschriftet (i.d.R. x und y) werden und die Zahlen an der Achse unterhalb der Abszissen- und links von der Ordinatenachse stehen.

Das Bild zeigt die entsprechenden Quadranten (eine Einteilung) und zwei Punkte. Ein Punkt im Koordinatensystem ist der Schnittpunkt zwischen der Parallele der Ordinatenachse an der Stelle der Abszisse des Punktes und der Parallele der Abszissenachse an dem Achsenabschnitt der Ordinate.

Beispiel: Punkte im Koordinatensystem In dem Bild gibt es einen Punkt im II. Quadranten namens Q. Seine Abszisse ist -4, da die Parallele der Ordinatenachse durch die Stelle -4 geht, der Punkt Q "steht" also über der Stelle -4 der x-Achse. Analog beträgt seine Ordinate 1,5, da er auf der Höhe von 1,5 liegt.

Polarkoordinatensystem

Eine andere Möglichkeit zur Beschreibung eines Punktes in der Ebene ist das Polarkoordinatensystem.
Es geht von der Idee eines Kreises bzw. einer Spirale aus. Ein horizontaler Strahl mit dem Koordinatenursprung dient als Anfangspunkt. Von ihm aus wird ein Radius r um den Winkel φ bewegt. Der Endpunkt des Radius markiert den gewünschten Punkt. Als Tupel wird der Punkt mit (r;φ) angegeben. Es müssen aber formale Einschränkungen beachtet werden:

• $r\geq 0$ und
• $0\leq \varphi <2\cdot \pi$

Wenn r = 0 gilt, also der Koordinatenursprung beschrieben werden soll, dann wird φ=0 gesetzt, denn eigentlich kämen ja alle Winkel in Frage.

Umrechnung zwischen den Kartesischen Koordinaten und den Polarkoordinaten

Generell kann man von Polarkoordinaten in Kartesische Koordinaten und umgekehrt umrechnen. Wichtig sind dabei Kenntnisse des rechtwinkligen Dreiecks.

Von Polarkoordinaten in Kartesische Koordinaten

Umrechnen mit rechtwinkligem Dreieck

Bei einem rechtwinkligem Dreieck gilt: Die Ankathete ergibt sich als Produkt aus der Länge der Hypotenuse und cos φ. Daraus können wir die Abszisse ( die x-Koordinate ) berechnen: $x=r\cdot \cos \varphi$
Analog verläuft die Ordinate ( die y-Koordinate ): Die Gegenkathete ergibt sich als Produkt aus der Länge der Hypotenus und sin φ. Daraus können wir die Ordinate berechnen $y=r\cdot \sin \varphi$

Von Kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten

Man bildet wieder ein rechtwinkliges Dreieck, bestehend aus der Abszisse und der Ordinate. Die Hypotenuse ist natürlich der Radius: $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$
Die Berechnung des Winkels wirft einige Schwierigkeiten auf:
$\varphi ={\begin{cases}0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=y=0\\\arccos {\frac {x}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y\geq 0\\\arccos {\frac {x}{r}}+\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y<0\end{cases}}$
Die Formel ist korrekt, wenn arccos als Funktionswerte nur Werte zwischen 0 und π annehmen kann.
Es muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden. Der erste Fall folgt aus der obigen Definition, dass dem Koordinatenursprung das Tupel (0,0) zugeordnet wird. Anschließend wird das Dreieck betrachtet, das aus x ( Ankathete ) und r ( Hypotenuse ) besteht. Für den ersten Quadranten ist obige Formel auf jedem Fall korrekt, da es einfach nur nach trigonometrischen Sätzen am rechtwinkligem Dreieck arbeitet. Das Gleiche gilt für den zweiten Quadranten, nur das hier ein negatives Argument an arccos übergeben wird, und demzufolge ein Winkel größer als ${\frac {\pi }{2}}$ zurückgegeben wird. Ab dem dritten Quadranten wird das Dreieck an der Abszissen-Achse gespiegelt, es muss also π aufaddiert werden.

Aufgaben

1. Ergänzen Sie folgende Tabelle $(a,b\epsilon \mathbb {R} \backslash \lbrace 0\rbrace )$:

Kartesische Koordinaten		Polarkoordinaten
$x\,$	$y\,$	$r\,$	$\varphi \,$
$2{\sqrt {2}}$	$2{\sqrt {2}}$
$-{\frac {9}{2}}$			${\frac {5}{6}}\pi$
	$0\,$	$1\,$
		$0\,$	$1\,$
$a\,$	$-b^{2}\,$

(Lösung)