MathGymOS/ Analysis/ Komplexe Zahlen/ Was ist eine Komplexe Zahl?

Sieht man sich die Geschichte der Mathematik an, so stellt man fest, dass neue Probleme nicht nur neue Methoden hervorgebracht haben, sondern auch zu einer Erweiterung der Zahlenmengen geführt haben. Zuerst wurde nur mit den Natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ (also den Zahlen 1,2,3,4 usw.) gerechnet. Diese Menge wurde aber schon bald um die Menge der Ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ erweitert, um auch mit negativen Zahlen zu rechnen und neue Probleme zu lösen. Die weiteren Entwicklungen sind hier tabellarisch dargestellt:

Gleichung	Lösung	Zahlenmenge
$x\,+7=2$	$x\,=-5$	$\mathbb {Z}$
$7x\,=2$	$x\,={\frac {2}{7}}$	$\mathbb {Q}$
$x^{2}\,=2$	$x\,=\pm {\sqrt {2}}$	$\mathbb {R}$
$x^{2}\,=-1$	$?\,$	$?\,$

Wir sehen, dass es in den bisherigen Zahlenmengen keine Lösung für die letzte Gleichung gibt. Das Quadrat einer positiven Zahl ist nämlich wieder eine positive Zahl und das Quadrat einer negativen Zahl ergibt ebenfalls eine positive Zahl. Somit lässt sich keine Zahl finden, deren Quadrat eine negative Zahl ist. Bevor wir für dieses Dilemma eine Lösung finden, schauen wir uns die zweitletzte Gleichung nochmals an: Damit quadratische Gleichungen gelöst werden können, muss das Wurzelsymbol eingeführt werden, welches wie eine Variable eingesetzt werden kann. Der exakte Wert von ${\sqrt {2}}$ ist zwar nicht bekannt (man könnt sagen ${\sqrt {2}}$ ist uns unbekannt wie eine Variable), aber wir wissen dass $({\sqrt {2}})^{2}$ genau gleich 2 ist. Um die letzte Gleichung in der Tabelle lösen zu können, führen wir analog zum Wurzelsymbol ein Zeichen ein, dessen Wert wir zwar nicht kennen, von dem wir aber wissen, dass sein Quadrat gleich -1 ist. Dieses Symbol heißt Imaginäre Einheit $\mathrm {i}$.

Definition

Die Imaginäre Einheit ist jene Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist.

$\mathrm {i} ^{2}\,=-1$

.

 

Die Imaginäre Einheit soll den Charakter einer Zahl haben und darf daher den üblichen Rechenoperationen nicht widersprechen (Permanenzprinzip, mehr dazu in den Übungen). Durch Multiplikation mit einer reellen Zahl $b$ ergeben sich Ausdrücke der Form $b\mathrm {i}$, (reine) imaginäre Zahlen. Mit dem was wir bisher wissen, können wir einfache Gleichungen lösen. Hier zwei Beispiele:

Beispiel 1:

$x^{2}\,=-25\quad \Rightarrow \quad x_{1,2}=\pm 5\mathrm {i}$

${\text{denn }}(\pm 5\mathrm {i} )^{2}=(\pm 5)^{2}\cdot \mathrm {i} ^{2}=25\cdot (-1)=-25$

Beispiel 2:

$x^{2}\,-12x+52=0$

Zum lösen dieser Gleichung verwenden wir die Lösungsformel für Quadratische Gleichungen

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

wobei $a=1,\quad b=-12$ und $c\,=52$ ist.

Somit erhalten wir

$x_{1,2}={\frac {-(-12)\pm {\sqrt {(-12)^{2}-4\cdot 1\cdot 52}}}{2\cdot 1}}={\frac {12\pm {\sqrt {-64}}}{2}}={\frac {12\pm 8\mathrm {i} }{2}}=6\pm 4\mathrm {i}$

Das zweite Beispiel führt uns endlich zum Begriff der Komplexen Zahlen.

Definition

Eine Komplexe Zahl ist eine Zahl der Form

$z\,=a+b\mathrm {i}$

$a\,$ wird Realteil $\operatorname {Re} {(z)}$ und $b\,$ Imaginärteil $\operatorname {Im} {(z)}$ genannt.

$a=\operatorname {Re} {(z)}\in \mathbb {R}$

$b=\operatorname {Im} {(z)}\in \mathbb {R}$

.

 

In Beispiel 2 wäre also $\operatorname {Re} {(z)}=\operatorname {Re} {(6\pm 4\mathrm {i} )}=6$ und $\operatorname {Im} {(z)}=\operatorname {Im} {(6\pm 4\mathrm {i} )}=\pm 4$.

Damit wir beginnen können uns zu überlegen wie man mit Komplexen Zahlen rechnet, müssen wir noch den Begriff der Komplexen Konjugation einführen.

Definition

${\bar {z}}=a-b\mathrm {i}$ heißt die zu $z\,=a+b\mathrm {i}$ konjugiert komplexe Zahl. .

 

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