MathGymOS/ Analysis/ Komplexe Zahlen/ Die Gauss'sche Ebene und die Grundrechenarten

Im vorherigen Kapitel haben wir gesehen, dass Komplexe Zahlen die allgemeine Form $a+b\mathrm {i}$ haben. Diese merkwürdige Form wirft nun die Frage auf, wo auf der Zahlengerade so eine Zahl zu finden ist. Die Antwort ist einfach: Die reelle Zahlengerade ist nicht ausreichend um Komplexe Zahlen darzustellen. Wir müssen also die reelle Zahlengerade erweitern. Hierfür fügen wir eine zweite Gerade hinzu, die senkrecht zur ersten steht und auf der sich die Imaginärteile der Komplexen Zahlen befinden (und mit $\mathrm {i}$ multipliziert werden).

Die Gauss'sche Zahlenebene und 3 Beispiele für Komplexe Zahlen

Aus dieser Grafik lassen sich bereits drei Dinge herauslesen:

1. Komplexe Zahlen lassen sich nicht ordnen. Es existieren also keine Aussagen wie $z_{1}<z_{2}$.
2. Die zu $z$ Komplex Konjugierte Zahl ${\bar {z}}$ ist, geometrisch gesprochen, die Spiegelung des Punktes $z=(a|b\mathrm {i} )$ an der x-Achse. (Sieh Beispiel mit $z_{1}$ und $z_{3}$ in dieser Grafik).
3. Jeder Komplexen Zahl kann ein Punkt $z=(a|b\mathrm {i} )$ zugeordnt werden oder auch ein Vektor von $(0|0)$ zu $(a|b\mathrm {i} )$. Aus dieser Eigenschaft lassen sich die Rechenregeln für die Addition und Subtraktion herleiten.

Vektoren können komponentenweise addiert und subtrahiert werden. Hier ein kleines Beispiel zur Erinnerung:

${\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}$

Das gleiche Prinzip können wir auf die Komplexen Zahlen anwenden: Wir haben zwei Komplexe Zahlen $z_{1}=a_{1}+b_{1}\mathrm {i} \,$ und $z_{2}=a_{2}+b_{2}\mathrm {i} \,$, welche wir addieren wollen. Wie bei Vektoren können wir diese Addition komponentenweise durchführen. Wir zählen also die x-Komponenten (Realteile) von $z_{1}\,$ und $z_{2}\,$ zusammen und mit den y-Komponenten (Imaginärteilen) machen wir das gleiche.

$z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathrm {i} \,$

Für die Subtraktion gehen wir analog vor und finden dadurch die Regel

$z\,_{1}-z\,_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})\mathrm {i}$

Wir haben diese Rechenregeln auf Grund von vektorgeometrischen Überlegungen gefunden. Dies legt nahe, dass wir die Addition und Subtraktion auch grafisch darstellen können und zwar ebenfalls nach den Regeln der Vektorgeometrie. Wir wollen an dieser Stelle aber auf grafische Beispiele verzichten und stattdessen algebraische Beispiele durchrechnen.

Beispiel 1:

$(3-2\mathrm {i} )\,+(5+6\mathrm {i} )=(3+5)+(-2+6)\mathrm {i} =8+4\mathrm {i}$

Beispiel 2:

$z+{\bar {z}}=(5+2\mathrm {i} )+(5-2\mathrm {i} )=(5+5)+(2+(-2))\mathrm {i} =10+0\mathrm {i} =10\quad \Rightarrow \quad (z+{\bar {z}})\in \mathbb {R}$

Beispiel 3:

$(2-\mathrm {i} )\,-(-3+2\mathrm {i} )=(2-(-3))+(-1-2)\mathrm {i} =5+(-3)\mathrm {i} =5-3\mathrm {i}$

Die Regeln für die Multiplikation finden wir auch ohne Vektorgeometrie. Wir brauchen lediglich die Binomischen Formeln:

$z_{1}\cdot z_{2}=(a_{1}+b_{1}\mathrm {i} )\cdot (a_{2}+b_{2}\mathrm {i} )=a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}\mathrm {i} +a_{2}b_{1}\mathrm {i} +b_{1}b_{2}\mathrm {i} ^{2}=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\mathrm {i}$

Die Division ist nicht viel schwieriger als die Multiplikation, aber wir müssen einen kleinen Trick anwenden. Damit wir ein brauchbares Ergebnis erhalten erweitern wir den Bruch zweier Komplexer Zahlen mit der Konjugiert Komplexen Zahl des Nenners. Dadurch wird der Nenner reell und wir erhalten wiederum eine Komplexe Zahl der Form $z=a+b\mathrm {i}$:

(Multiplikationsregel anwenden und $\mathrm {i} ^{2}=-1$ berücksichtigen)

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}}{z_{2}}}\cdot {\frac {{\bar {z}}_{2}}{{\bar {z}}_{2}}}={\frac {(a_{1}+b_{1}\mathrm {i} )\cdot (a_{2}-b_{2}\mathrm {i} )}{(a_{2}+b_{2}\mathrm {i} )\cdot (a_{2}-b_{2}\mathrm {i} )}}={\frac {(a_{1}a_{2}-b_{1}(-b_{2}))+(a_{1}(-b_{2})+a_{2}b_{1})\mathrm {i} }{(a_{2}a_{2}-b_{2}(-b_{2}))+(a_{2}(-b_{2})+a_{2}b_{2})\mathrm {i} }}$

$={\frac {(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})\mathrm {i} }{(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})+(a_{2}b_{2}-a_{2}b_{2})\mathrm {i} }}={\frac {(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})\mathrm {i} }{(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})+0\mathrm {i} }}={\frac {(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})\mathrm {i} }{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$

$={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}+{\frac {a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\mathrm {i}$

Es empfiehlt sich nicht diese Formeln auswendig zu lernen. Es ist viel einfacher sich die Prinzipien zu merken: Bei der Multiplikation werden die Binomischen Formeln verwendet und bei der Division wird der Bruch mit der Konjugiert Komplexen Zahl des Nenners erweitert. Allenfalls kann man sich bei der Division auch folgendes merken:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}\cdot {\bar {z}}_{2}}{\operatorname {Re} {(z_{2})}^{2}+\operatorname {Im} {(z_{2})}^{2}}}={\frac {z_{1}\cdot {\bar {z}}_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$

Hier kommen noch zwei konkrete Beispiele zur Multiplikation und Division:

Beispiel 1:

${\frac {3+5\mathrm {i} }{2-4\mathrm {i} }}={\frac {(3+5\mathrm {i} )\cdot (2+4\mathrm {i} )}{(2-4\mathrm {i} )\cdot (2+4\mathrm {i} )}}={\frac {3\cdot 2+3\cdot 4\mathrm {i} +5\mathrm {i} \cdot 2+5\mathrm {i} \cdot 4\mathrm {i} }{2\cdot 2+2\cdot 4\mathrm {i} +(-4\mathrm {i} )\cdot 2+(-4\mathrm {i} )\cdot 4\mathrm {i} )}}$

$={\frac {-14+22\mathrm {i} }{4+16}}={\frac {-14+22\mathrm {i} }{20}}={\frac {-7}{10}}+{\frac {11}{10}}\mathrm {i}$

Beispiel 2:

${\frac {2+\mathrm {i} }{-3+2\mathrm {i} }}={\frac {(2+\mathrm {i} )\cdot (-3-2\mathrm {i} )}{9+4}}={\frac {2\cdot (-3)+2\cdot (-2\mathrm {i} )+\mathrm {i} \cdot (-3)+\mathrm {i} \cdot (-2\mathrm {i} )}{13}}={\frac {-4-7\mathrm {i} }{13}}={\frac {-4}{13}}+{\frac {-7}{13}}\mathrm {i}$

Zurück zu "Was ist eine Komplexe Zahl?" | Hoch zum "Komplexe Zahlen" | Vor zu "Die Polarform"