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Zahlenfolgen und ihre Reihen

Beispiel: Die Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist eine der bekanntesten Folgen der Mathematik - und sie sieht so aus:

$a_{n}:\ 1,1,2,3,5,8,13,21,...$

wobei gilt:

$a_{1}=1\ a_{2}=1\ a_{3}=2\ a_{4}=3\ a_{5}=5\ etc.$

Für diese Folge gilt die folgende Regel: Die nächste Zahl ist jeweils die Summe der zwei vorhergehenden.

 

Was sind Folgen?

Definition

Für eine unendliche Folge $a\,$ gilt:

$a:\ \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R}$

$n\longmapsto a_{n}$

Sie ist also definiert als eine Abbildung, die jedem Index $n\,$ aus der Indexmenge $\mathbb {N}$ ein Folgeglied $a_{n}\,$ aus der Zielmenge $\mathbb {R}$ zuordnet.

 

Wozu Folgen?

Es stellt sich natürlich die Frage, warum wir überhaupt mit Folgen arbeiten, oder allgemeiner: Was sollen Folgen bringen? Zunächst einmal kann man Folgen (wie die Fibonacci-Folge) in der Natur beobachten. Das ist aber nicht der Hauptgrund dafür, dass Folgen bei Mathematikern so ungemein beliebt sind.

Um dies zu verstehen, formulieren wir die Frage um: Funktionen sind viel interessanter - warum beschäftigt man sich nicht von vornherein mit rellen (oder anderen) Funktionen? Diese Frage ist der Knackpunkt, warum Folgen so interessant sind. Der Definitionsbereich von Funktionen ist meist eine sogenannte "überabzählbare Menge" (das heißt anschaulich gesagt, dass man nicht alle Elemente der Menge aneinanderreihen kann und durchzählen kann - der Begriff ist aber nicht wichtig!), wie zum Beispiel eine Teilmenge der reellen Zahlen. Solche "überabzählbaren Mengen" sind aber ziemlich hässlich zu handhaben.

Und hier kommen die Folgen ins Spiel. Eine Folge bildet natürliche Zahlen auf z.B. reelle Zahlen ab. Natürliche Zahlen aber sind "abzählbar" (ich kann sie ja alle der Reihe nach aufzählen. Es gibt zwar unendlich viele, aber ich könnte sie ja aufzählen) und solche Mengen kann man viel einfacher handhaben. Folgen sind also absolut notwendig, wenn man Funktionen wirklich mathematisch und nicht nur anschaulich behandeln will.

Der Mathematiker beschäftigt sich also mit Folgen, weil er damit dann hinterher viel leichter mit den Funktionen arbeiten kann. Auch einige Konzepte, wie der Grenzwert lassen sich anhand von Folgen viel anschaulicher erklären.

Einige Folgen als Beispiel

$1,3,5,7,...\,$	Folge der ungeraden Zahlen
$1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{9}},{\frac {1}{16}},...$	Kehrbrüche von $1^{2},2^{2},3^{2},4^{2},...\,$
$2,-4,8,-16,...\,$
$2,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {5}{4}},...$

Explizite Definition einer Folge

Die explizite Definition einer Folge ist eine Formel für das n-te Glied der Folge:

Beispiel: Eine explizite Definition

Die explizite Definition $a_{n}={\frac {n+1}{2}}$ ergibt $1,{\frac {3}{2}},2,{\frac {5}{2}},...$

Man kann aus dieser expliziten Definition auch das hundertste Glied ausrechnen:

$a_{100}={\frac {100+1}{2}}={\frac {101}{2}}$

 

Rekursive Definition einer Folge

Die rekursive Definition einer Folge beinhaltet das erste Glied einer Folge sowie eine Formel, mit der man das jeweils nächste Glied der Folge ausrechnen kann.

Beispiel: Eine rekursive Definition

Die rekursive Definition $a_{1}=3\ ;\ a_{n+1}=2\cdot a_{n}+1$ ergibt $3,7,15,31,...\,$

 

Die Reihe einer Folge

Definition

Unter der Reihe oder Teilsummenfolge einer gegebenen Folge $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\,$

versteht man die Folge $s_{1},s_{2},s_{3},...,s_{n}\,$,

wobei $s_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}\,$

 

Beispiel: Die Reihe einer Folge

Die Zahlenfolge $a_{n}:1,4,9,16,...\,$ ergibt die Reihe $s_{n}:1,5,14,30,...\,$

 

Mögliche Schreibweisen (Abkürzungen)

Reihen (auch unendliche Reihen genannt) werden zumeist mit Hilfe des Summenzeichen abgekürzt.

Zu beachten ist dabei aber, dass die Schreibweise meist sowohl für die Funktionsvorschrift, als auch für den Grenzwert der Reihe verwendet wird. Aus dem Kontext muss dann klar werden, welche Schreibweise gemeint ist.

Beispiel: Die Reihe einer Folge

Die Zahlenfolge $a_{n}:1,4,9,16,...\,$ ergibt die Reihe $\sum \limits _{k=1}^{\infty }\,n^{2}$

Eine weitere wichtige Reihe ist die sogenannte "harmonische Reihe": $\sum \limits _{k=1}^{\infty }\,{\frac {1}{n}}$

 

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