MathGymOS/ Analysis/ Extremwertprobleme, Steckbriefaufgaben/ Lösungen

Aufgabe 1Bearbeiten

Zunächst einmal muss eine Zielfunktion   gefunden werden, welche die Oberfläche des kreiszylinders in Abhängigkeit des Radius angibt:

 

Der Term   ist die Summe aus Boden- und Deckfläche. Der Term   stellt hingegen die Mantelfläche dar und vereinfacht sich (mit dem Volumen  ) zu  . Somit lautet die endgültige Zielfunktion

 .

Um das Extremum zu finden braucht man die notwendige Bedingung  .

 

Auflösen dieser Gleichung liefert

 .

An dieser Stelle müsste noch die hinreichende Bedingung überprüft werden, aber das ist nicht weiter schwierig und deshalb kommen wir jetzt gleich zur Lösung: Der Radius ist

 ,

die Höhe

 

und die Oberfläche ergibt sich zu

 .


Aufgabe 2Bearbeiten