MathGymOS/ Analysis/ Extremwertprobleme, Steckbriefaufgaben/ Lösungen

Aufgabe 1

Zunächst einmal muss eine Zielfunktion $O\,(r)$ gefunden werden, welche die Oberfläche des kreiszylinders in Abhängigkeit des Radius angibt:

$O\,(r)=2\pi r^{2}+2\pi r{\frac {V}{\pi r^{2}}}$

Der Term $\,2\pi r^{2}$ ist die Summe aus Boden- und Deckfläche. Der Term $2\pi r{\frac {V}{\pi r^{2}}}$ stellt hingegen die Mantelfläche dar und vereinfacht sich (mit dem Volumen $V=1$) zu ${\frac {2}{r}}$. Somit lautet die endgültige Zielfunktion

$O\,(r)=2\pi r^{2}+{\frac {2}{r}}$.

Um das Extremum zu finden braucht man die notwendige Bedingung $O\,'(r)=0$.

$O\,'(r)=4\pi r-{\frac {2}{r^{2}}}=0$

Auflösen dieser Gleichung liefert

$r={\sqrt[{3\,}]{\frac {1}{2\pi }}}$.

An dieser Stelle müsste noch die hinreichende Bedingung überprüft werden, aber das ist nicht weiter schwierig und deshalb kommen wir jetzt gleich zur Lösung: Der Radius ist

$r={\sqrt[{3\,}]{\frac {1}{2\pi }}}$,

die Höhe

$h=3{\sqrt[{3\,}]{2\pi }}$

und die Oberfläche ergibt sich zu

$O\,=5.54\,dm^{3}$.