Maßtheorie/ Atome

Definition (Atom):

Es sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ ein Maßraum. Eine messbare Menge $A\in {\mathcal {F}}$ heißt Atom genau dann, wenn einerseits $\mu (A)>0$ ist und andererseits für alle messbaren Teilmengen $B\subseteq A$, $B\in {\mathcal {F}}$ entweder $\mu (B)=0$ oder $\mu (B)=\mu (A)$ gilt.

Definition (Nichtatomarer Maßraum):

Ein Maßraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ heißt nichtatomar genau dann, wenn kein Element von ${\mathcal {F}}$ ein Atom ist. Andernfalls heißt $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ atomar.

Proposition (Messbare Mengen endlichen positiven Maßes in nichtatomaren Maßräumen enthalten messbare Teilmengen beliebig kleinen positiven Maßes):

Es sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ ein nichtatomarer Maßraum. Des weiteren sei $A\in {\mathcal {F}}$ mit $\infty >\mu (A)>0$. Dann gibt es für jedes $\delta >0$ ein messbares $B\subseteq A$, sodass $0<\mu (B)<\delta$ gilt.

Beweis: Da nach Voraussetzung $A$ kein Atom ist, gibt es ein messbares $B_{1}\subseteq A$ mit $0<\mu (B_{1})<\mu (A)$. Nun ist entweder bereits $\mu (B_{1})<\delta$, oder aber es ist $\mu (B_{1})\geq \delta$ und folglich $\mu (A\setminus B_{1})\leq \mu (A)-\delta$. Dann verfährt man mit der Menge $A\setminus B_{1}$ genauso, und so fort. Da man bei jedem Schritt eine Menge des Maßes $\geq \delta$ entfernt, gelangt man nach endlich vielen Schritten zu einer Menge des Maßes $<\delta$; diese ist entweder unter den $B_{n}$ zu finden, oder sie ist der Rest, der übrig bleibt, wenn man soviele $B_{n}$ entfernt hat, dass das Maß der verbleibenden Menge $\leq \delta$ ist. $\Box$

Proposition (Nichtatomare Maßräume enthalten Mengen beliebigen Maßes):

Es sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ ein nichtatomarer Maßraum. Ferner sei $c>0$ sodass $c\leq \mu (\Omega )$ gilt. Dann gibt es ein $B\in {\mathcal {F}}$ mit $\mu (B)=c$.

Vorausgesetzt, dass das Axiom der abzählbaren Auswahl gilt.

Beweis: Zunächst beweisen wir den Satz für $\mu (\Omega )<\infty$. Für ein fest gegebenes $n\in \mathbb {N}$, definiere

${\begin{aligned}{\mathcal {M}}_{n}&:=\{A\subseteq \Omega |A{\text{ ist partitionierbar in abzählbar viele messbare Mengen von Maß}}\leq 1/n\}\\\eta _{n}&:=\sup _{A\in {\mathcal {M}}_{n}}\mu (A).\end{aligned}}$

Unter Benutzung des Axioms der abzählbaren Auswahl wähle für jedes $k\in \mathbb {N}$ ein $A_{n,k}\in {\mathcal {F}}$, welches in abzählbar viele messbare Mengen von Maß $\leq 1/n$ partitioniert werden kann, sodass $\mu (A_{n,k})\geq \eta _{n}-1/2^{k}$. Man bemerke nun, dass ${\mathcal {M}}_{n}$ unter endlicher Vereinigung abgeschlossen ist; die Abzählbarkeit von $\mathbb {N} ^{m}$ für natürliches $m$ zeigt, dass die Schnittmengen aller Elemente der Partitionierungen aller Mengen eine abzählbare Partitionierung der Vereinigung ergibt. Daher gilt für $j\geq k$, dass

$\mu (A_{n,k}\setminus A_{n,j})<1/2^{k}$;

andernfalls wäre ja $A_{n,k}\cup A_{n,j}$ eine Menge in ${\mathcal {M}}_{n}$ des Maßes $>\eta _{n}$, was nicht sein kann. Behaupte nun, dass

$A_{n}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }A_{n,k}\in {\mathcal {M}}_{n}$.

Gemäß der Formel für die geometrische Reihe gilt

$\sum _{k=N}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}={\frac {1}{2^{N-1}}}$.

Nun kann man $N$ hinreichend groß wählen, sodass letzterer Ausdruck $<1/n$ wird. Wegen

$\mu \left(\bigcup _{k\geq N}A_{n,k}\right)\leq \sum _{k=N}^{\infty }\mu (A_{n,k}\setminus A_{n,k+1})<1/n$,

und weil

$\bigcup _{k<N}A_{n,k}\in {\mathcal {M}}_{n}$

ist, ist auch $A_{n}\in {\mathcal {M}}_{n}$. Außerdem gilt für jedes $j\in \mathbb {N}$, dass

$\mu \left(\bigcup _{k\in \mathbb {N} }A_{n,k}\right)\geq \mu (A_{n,j})\geq \eta _{n}-1/2^{k}$,

und somit ist $\mu (A_{n})=\eta _{n}$, da natürlich auch $\mu (A_{n})\leq \eta _{n}$ gilt.

Sei nun $n\in \mathbb {N}$ beliebig. Nehme an, dass $\eta _{n}<\mu (\Omega )$ gilt. Dann ist $\Omega \setminus A_{n}$ eine Menge positiven Maßes, die daher selbst eine Menge positiven Maßes, aber $<1/n$ enthält. Die Vereinigung von $A_{n}$ und dieser Menge ist dann ein Element von ${\mathcal {M}}_{n}$, aber ihr Maß ist größer als $\eta _{n}$, ein Widerspruch. Also gilt $\eta _{n}=\mu (\Omega )$.

Eine erneute Anwendung des Axioms der abzählbaren Auswahl liefert für jedes $n$ eine abzählbare Partitionierung

$A_{n}=\bigsqcup _{k\in \mathbb {N} }B_{n,k}$

in messbare Mengen. Es ist nun leicht ersichtlich, wie man aus den $B_{n,k}$ eine Menge jedes gewünschten Maßes $\leq \mu (\Omega )$ erzeugt.

Nun zum unendlichen Fall. Einschränkung des Maßraums auf eine hinreichend große Menge endlichen Maßes zeigt, dass der endliche Fall den unendlichen Fall impliziert, wenn man nur beweisen kann, dass jeder unendliche nichtatomare Maßraum Mengen beliebig großen, aber endlichen Maßes enthält. Nehme also an, dass

$\eta :=\sup _{\mu (A)<\infty }\mu (A)<\infty$.

Unter Verwendung des Axioms der abzählbaren Auswahl kann man $A_{n}$ wählen mit $\mu (A_{n})>\eta -1/n$. Wenn

$A=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$

ist, gilt wie oben $\mu (A)=\eta$. Aber die Wahl einer Menge positiven, aber endlichen Maßes in $\Omega \setminus A$ führt zum Widerspruch. $\Box$

Proposition (Äquivalenz verschiedener Begriffe der gleichgradigen Integrierbarkeit genau in nichtatomaren Maßräumen):

Es sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ ein Maßraum. Dann ist die gleichgradige Integrierbarkeit einer Familie von messbaren Funktionen $(f_{\lambda }:\Omega \to \mathbb {C} )_{\lambda \in \Lambda }$ genau dann äquivalent zur Bedingung

$\lim _{K\to \infty }\sup _{\lambda \in \Lambda }\int _{\{|f_{\lambda }|>K\}}|f_{\lambda }|d\mu =0$,

wenn $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ nichtatomar ist.

Vorausgesetzt, dass das Axiom der abzählbaren Auswahl gilt.

Beweis: Angenommen, $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ wäre atomar. Es sei $A\in {\mathcal {F}}$ ein Atom. Für jedes $n\in \mathbb {N}$, definiere die Funktion

$f_{n}:=n\mathbb {1} _{A}$,

sodass man eine Familie $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ erhält. Diese Familie ist gleichgradig integrierbar. Denn wenn $\delta >0$ so klein ist, dass $\delta <\mu (A)$, dann gilt sogar, nach Definition des Integrals als Supremum der minorisierenden einfachen Funktionen

$\int _{B}|f_{n}|d\mu =0$

für alle $n\in \mathbb {N}$ und $B\in {\mathcal {F}}$, sodass $\mu (B)<\delta$ gilt. Allerdings gilt auch

$\lim _{K\to \infty }\sup _{n\in \mathbb {N} }\int _{\{|f_{n}|>K\}}|f_{n}|d\mu =\infty$,

da das Supremum für jedes festes $K$ unendlich ist. Sei umgekehrt $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ nichtatomar. In jedem Falle wird die gleichgradige Integrierbarkeit durch die hintanstehende Bedingung erzwungen, da sie einer bereits bewiesenen hinreichenden Bedingung für die gleichgradige Integrierbarkeit identisch ist. Nun sei $(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ eine gleichgradig integrierbare Familie. Nehme an, dass

$\lim _{K\to \infty }\sup _{\lambda \in \Lambda }\int _{\{|f_{\lambda }|>K\}}|f_{\lambda }|d\mu =0$

nicht gilt. Dann gibt es ein $c>0$ und für jedes $K>0$ ein $L\geq K$ und ein $\lambda \in \Lambda$, sodass

$\int _{\{|f_{\lambda }|>L\}}|f_{\lambda }|d\mu \geq c$

gilt. Sei nun $\epsilon >0$, und sei $\delta >0$ beliebig. Wähle $K=1/\delta$, und davon abhängig wie oben ein entsprechendes $L$ und $\lambda$. Da nichtatomare Maßräume Mengen beliebig kleineren Maßes enthalten (in der Tat, schränke den Maßraum auf eine gegebene Menge ein) gilt entweder ohnehin schon $\mu (\{|f_{\lambda }|>L\})<\delta$, oder aber $\{|f_{\lambda }|>L\}$ enthält eine messbare Teilmenge $M$ des Maßes $\delta$. Im ersteren Fall erhält man einen unmittelbaren Widerspruch zur gleichgradigen Integrierbarkeit, falls $\epsilon <c$. Im zweiten Falle erhält man

$\int _{M}|f_{\lambda }|d\mu \geq 1$,

was einen Widerspruch zur gleichgradigen Integrierbarkeit für $\epsilon <1$ liefert. $\Box$