Maßtheorie/ Gleichgradige Integrierbarkeit

Definition (Gleichgradige Integrierbarkeit):

Es sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ ein Maßraum. Eine Familie $(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ von Funktionen von $\Omega$ nach $\mathbb {C}$ heißt gleichgradig integrierbar genau dann, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt, sodass für alle Mengen $A\in {\mathcal {F}}$, für die $\mu (A)<\delta$ gilt, die Abschätzung

$\sup _{\lambda \in \Lambda }\int _{A}|f_{\lambda }|d\mu <\epsilon$

gültig ist.

Proposition (Bedingungen für die gleichgradige Integrierbarkeit):

Es sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ ein Maßraum und $(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ eine Familie von Funktionen von $\Omega$ nach $\mathbb {C}$. Betrachte die Bedingungen

1. $(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ ist gleichgradig integrierbar und $\sup _{\lambda \in \Lambda }\|f_{\lambda }\|_{1}<\infty$
2. $\lim _{K\to \infty }\sup _{\lambda \in \Lambda }\int _{\{|f_{\lambda }|>K\}}|f_{\lambda }|d\mu =0$.

Dann impliziert die erste Bedingung die zweite Bedingung, und wenn der Maßraum endlich ist (d.h. $\mu (\Omega )<\infty$), dann sind die Bedingungen sogar äquivalent. In jedem Fall impliziert die zweite Bedingung die gleichgradige Integrierbarkeit.

Beweis: Gelte zunächst die erste Bedingung, und sei $\epsilon >0$ beliebig. Da $\sup _{\lambda \in \Lambda }\|f_{\lambda }\|_{1}<\infty$ gilt, gibt es ein $C>0$ sodass $\|f_{\lambda }\|_{1}<C$ für alle $\lambda \in \Lambda$. Angenommen, dass das Maß der Menge $\{|f_{\lambda }|>K\}$ für hinreichend großes $K$ nicht für alle $\lambda$ kleiner als ein gegebenes festes $\delta >0$ sei. Dann gibt es zu jedem $K>0$ ein $\lambda$, sodass $\mu (\{|f_{\lambda }|>K\})\geq \delta$ gilt. Dies impliziert jedoch

$\int _{\{|f_{\lambda }|>K\}}|f_{\lambda }|d\mu \geq \delta K$,

und wenn man $K>C/\delta$ wählt, erhält man einen Widerspruch. Daher ist jedoch die gleichgradige Integrierbarkeit anwendbar: Wählt man $K$ hinreichend groß, ist, wie eben gezeigt, $\mu (\{|f_{\lambda }|>K\})<\delta$ für ein beliebiges, aber festes $\delta$, und wenn man

$\int _{\{|f_{\lambda }|>K\}}|f_{\lambda }|d\mu <\epsilon$

erreichen will, kann man $\delta$ so wählen wie es durch die gleichgradige Integrierbarkeit garantiert möglich ist.

Umgekehrt sei $\mu (\Omega )<\infty$ und gelte die zweite Bedingung. Es sei zunächst ein $\epsilon >0$ vorgegeben. Wähle ein $K>0$ sodass

$\int _{\{|f_{\lambda }|>K\}}|f_{\lambda }|d\mu <\epsilon /2$

gilt. Ferner wähle $\delta <{\frac {\epsilon }{2K}}$. Falls dann $A\in {\mathcal {F}}$ ist, sodass $\mu (A)<\delta$ gilt, haben wir für jedes $\lambda \in \Lambda$

$\int _{A}|f_{\lambda }|d\mu =\int _{A\cap \{|f_{\lambda }|>K\}}|f_{\lambda }|d\mu +\int _{A\setminus \{|f_{\lambda }|>K\}}|f_{\lambda }|d\mu <\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon$,

wie von der Definition der gleichgradigen Integrierbarkeit verlangt wurde. Ferner wähle ein beliebiges endliches $C>0$ aus, und dann ein $K>0$ hinreichend groß sodass

$\int _{\{|f_{\lambda }|>K\}}|f_{\lambda }|d\mu <C$

für alle $\lambda \in \Lambda$ gilt. Dann gilt für alle $\lambda \in \Lambda$

$\int _{\Omega }|f_{\lambda }|d\mu =\int _{\{|f_{\lambda }|>K\}}|f_{\lambda }|d\mu +\int _{\{|f_{\lambda }|\leq K\}}|f_{\lambda }|d\mu \leq C+\mu (\Omega )K$,

und der letzte Ausdruck stellt eine obere Schranke für alle Werte $\|f_{\lambda }\|_{1}$ ($\lambda \in \Lambda$) dar. $\Box$