Lineare Algebra: Eigenwertprobleme: Eigenwerte und Eigenvektoren

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DefinitionBearbeiten

Sei   ein Vektorraum über einem Körper   und sei   ein Endomorphismus. Dann heißt   Eigenwert von   genau dann, wenn es ein   mit   gibt, so dass  . Dann heißt   Eigenvektor von   zum Eigenwert  . Die Menge   aller  , die die Gleichung   Erfüllen, heißt Eigenraum von   zum Eigenwert  .

Analog definiert man Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume quadratischer Matrizen, indem man diese vermöge der Multiplikation als Endomorphismen des   auffasst.

Offensichtlich sind Eigenräume Unterräume, denn für   und   gilt auch:

  •  , also  
  •  , also  

Berechnung der EigenwerteBearbeiten

Nun stellt sich die Frage, wie man die Eigenwerte berechnet. Sprich es ist eine Lösung der Gleichung   gesucht.
 
   
Nun erkennt man, dass die Eigenwertbestimmung auf die Berechnung einer Determinanten zurückgeführt wurde. Genauer gesagt, muss man die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms berechen:
 

Um die Eigenvektoren zu einem Eigenwert, also den Eigenraum   zu bestimmen, berechnet man   .