Lineare Algebra: Allgemeine Vektorräume: Basis und Dimension

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LinearkombinationBearbeiten

Sei V ein Vektorraum und B eine Teilmenge von V. Eine Linearkombination aus B ist eine endliche Summe skalarer Vielfacher von Elementen aus  . Das heißt, sind   und   Elemente des Körpers („Skalare“), dann ist

  eine Linearkombination aus  .

Eine Linearkombination   des Nullvektors heißt trivial / linear unabhängig, wenn alle Skalare   gleich Null sind, sonst heißt sie nichttrivial / linear abhängig.

ErzeugendensystemeBearbeiten

Der von einer Teilmenge   eines Vektorraums   erzeugte Untervektorraum   ist der Durchschnitt aller Unterräume  , die Obermenge von   sind. Ein Vektorraum, der ein endliches Erzeugendensystem besitzt, heißt endlich erzeugt.

Gleichwertig hierzu ist: span(A) ist die Menge aller Linearkombinationen von Elementen in A.

Lineare UnabhängigkeitBearbeiten

Eine endliche Teilmenge   eines  -Vektorraums   heißt linear abhängig, wenn es Skalare   gibt, die nicht alle null sind, aber die Gleichung   erfüllen. Eine unendliche Teilmenge nennen wir genau dann linear abhängig, wenn sie eine endliche linear abhängige Teilmenge umfasst. Eine nicht linear abhängige Menge heißt linear unabhängig.

BasenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Eine Basis eines Vektorraums   ist eine Teilmenge   von   die eine der und damit alle folgenden gleichwertigen Eigenschaften hat:

  1. Jedes Element von   lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus   darstellen und diese Darstellung ist eindeutig.
  2.   ist ein minimales Erzeugendensystem von  .
  3.   ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von  .
  4.   ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von  .

Jeder Vektorraum hat mindestens eine Basis (s. eine Skizze des Existenzbeweises unten).

Beweis der Äquivalenz der DefinitionenBearbeiten

Die folgenden Überlegungen skizzieren einen Beweis dafür, dass die vier charakterisierenden Eigenschaften, die als Definition des Begriffs Basis genannt werden, äquivalent sind. (Für diesen Beweis wird das Auswahlaxiom oder Lemma von Zorn nicht benötigt.)

  • Wenn sich jeder Vektor als Linearkombination von Vektoren in B darstellen lässt, dann ist B ein Erzeugendensystem (nach Definition).
    Wenn B nicht minimales Erzeugendensystem ist, dann gibt es eine echte Teilmenge B*, die auch ein Erzeugendensystem ist. Sei nun b0 ein Element von B, welches nicht in B* liegt. Dann lässt sich b0 auf mindestens zwei verschiedene Arten als Linearkombination von Vektoren in B darstellen: Zum einen als Linearkombination von Vektoren in B* und einmal als  . Das ist ein Widerspruch zur Eindeutigkeit der Darstellung in (1), daher ist B minimal.
    Also gilt (1) → (2).
  • Jedes minimale Erzeugendensystem muss linear unabhängig sein. Denn wenn B nicht linear unabhängig ist, dann gibt es einen Vektor b0 in B, welcher sich als Linearkombination von Vektoren in   darstellen lässt. Dann aber lässt sich jede Linearkombination von Vektoren in B auch durch eine Linearkombination von Vektoren in   darstellen und B wäre kein minimales Erzeugendensystem.
    Also gilt (2) → (4).
  • Jedes linear unabhängige Erzeugendensystem B muss eine maximale linear unabhängige Menge sein. Wäre nämlich B nicht maximal linear unabhängig, so gäbe es ein  , das nicht in B liegt, welches zusammen mit B linear unabhängig wäre. Aber b0 lässt sich als Linearkombination von Elementen aus B darstellen, was der linearen Unabhängigkeit widerspricht.
    Also gilt (4) → (3).
  • Ein maximal linear unabhängiges System B ist ein Erzeugendensystem: Sei b* ein beliebiger Vektor. Wenn b* in B enthalten ist, dann lässt er sich als Linearkombination von Elementen aus B schreiben. Wenn aber b* nicht in B enthalten ist, dann ist die Menge   eine echte Obermenge von B und damit nicht mehr linear unabhängig. Die Vektoren  , die in einer nichttrivialen Linearkombination   des Nullvektors vorkommen, können nicht alle aus   sein, daher muss einer davon (sagen wir b1) gleich b* sein, mit   . Daher ist  .
    Also gilt (3) → (1).

Existenzbeweis (Skizze)Bearbeiten

Mit dem Lemma von Zorn kann man beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis haben muss, auch wenn man sie oft nicht explizit angeben kann. (Umgekehrt kann man aus dem Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, auch das Auswahlaxiom oder das Lemma von Zorn beweisen. Daher kann man in einer Mengenlehre ohne das Auswahlaxiom oder äquivalente Aussagen nicht beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis hat.)

Sei   ein Vektorraum. Man möchte eine maximale linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums finden. Es liegt also nahe, das Mengensystem

   linear unabhängig  

zu betrachten, das durch die Relation   halbgeordnet wird.

Man kann nun leicht zeigen:

  1.   ist nicht leer (zum Beispiel enthält   die leere Menge. Besteht   nicht nur aus dem Nullvektor, dann ist zusätzlich auch jede Einermenge   mit   in   und   ein Element von  .
  2. Für jede Kette   ist auch   in  . (Eine Kette C ist hier ein System von linear unabhängigen Teilmengen von V, die sich untereinander mit der Teilmengenrelation vergleichen lassen).

Aus dem Lemma von Zorn folgt nun, dass   ein maximales Element hat. Es folgt sogar, dass jedes Element   von   in einem maximalen Element von   enthalten ist. Die maximalen Elemente von   sind nun aber genau die maximalen linear unabhängigen Teilmengen von  , also die Basen von  . Daher hat   eine Basis und es gilt darüber hinaus, dass jede linear unabhängige Teilmenge von   in einer Basis von   enthalten ist.

Weitere Aussagen über BasenBearbeiten

  • Austauschlemma von Steinitz (nach Ernst Steinitz): Sind   eine Basis eines Vektorraumes   und   ein weiterer vom Nullvektor verschiedener Vektor aus  , so kann man einen der Basisvektoren gegen   "austauschen", d.h. es existiert ein Index  , so dass   ebenfalls eine Basis von   ist.
    Diese Aussage wird häufig dazu benutzt, um zu zeigen, dass alle Basen eines Vektorraumes aus der gleichen Anzahl an Vektoren bestehen.
  • Jeder Vektorraum ist ein freies Objekt über seiner Basis. Dies ist eine universelle Eigenschaft von Vektorräumen im Sinne der Kategorientheorie. Konkret heißt dies:
  1. Eine lineare Abbildung eines Vektorraums in einen anderen Vektorraum ist bereits durch die Bilder der Basisvektoren vollständig bestimmt.
  2. Jede beliebige Abbildung der Basis in den Bildraum definiert eine lineare Abbildung.
  • In einem  -dimensionalen Vektorraum über einem endlichen Körper mit   Elementen gibt es
 
verschiedene Basen.

Dimension eines VektorraumsBearbeiten

Alle Basen   haben die gleiche Anzahl   von Elementen (Mächtigkeit): die Dimension von  . Oft unterscheidet man die Dimensionen nicht endlich-erzeugter Vektorräume nicht und schreibt einfach  , ohne die verschiedenen Kardinalzahlen unendlicher Basen zu unterscheiden.