Kartenprojektionen: Euler-Lagrange Tensor
Ansatz
BearbeitenDer Cauchy-Green Tensor geht aus der Division der Bogenstücke hervor. Man könnte also sagen er ist "multiplikativ".
Auch aus der "Addition" geht ein Tensor hervor, der Euler-Lagrange Tensor. Er geht aus der Differenz der differentiellen Bogenstücke hervor:
linke Seite:
rechte Seite:
Wie immer stehen Großbuchstaben für das Urbild, Kleinbuchstaben für das Abbild.
Wie üblich nutzen wir nicht den differentialen Zusammenhang sondern stellen einen Tensor auf.
Definition: Euler-Lagrange Tensor |
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Linke Seite:
Rechte Seite:
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Praktischer Nutzen und Berechnung
Bearbeiten"Wieso noch ein Tensor?" mag sich manche/r fragen. Weil die zu E gehörenden Eigenwerte anzeigen, ob es sich um eine Dehnung oder Stauchung handelt. Dazu gleich mehr. Zunächst die Berechnung der Eigenwerte:
Berechnung der extremalen Verzerrungen nach dem Euler-Lagrange Tensor |
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Wichtig !!! Im Gegensatzsatz zu dem Hauptverzerrungsbeträgen nach Cauchy-Green ergibt sich nicht das Quadrat der Verzerrung sondern gleich die Verzerrung. Dies liegt daran, dass das Ergebnis der Formel auch negativ sein kann (und soll!).
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Die Formel ist gleich für links wie rechts. Deswegen sind die Indizees weggelassen. Beim Zeichnen von Verzerrungsellipsen muss aus positiven κ die Wurzel gezogen werden.
Bedeutung:
Ist κ positiv, handelt es sich um eine Dehnung, Bei negativen κ liegt Stauchung vor.
Zusammenhang der Eigenwerte bezüglich Cauchy-Green bzw. Euler-Lagrange |
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Dies gilt links wie rechts.