Kartenprojektionen: Hauptverzerrungen

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Hauptverzerrungsrichtungen

Für alle, dies eilig haben:

Bevor ihr das jetzt alles abtippt, sei auf die Maple Umsetzung auf der nächsten Seite verwiesen.

Definition der Hauptverzerrungsrichtungen

So werden die Beträge der Hauptverzerrungsrichtungen berechnet. Ein Wert ist die größte Verzerrung, der andere die kleinste. Herleitung folgt. $\lambda _{1,2}^{2}={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {tr} \left(\mathbf {C} \mathbf {G} ^{-1}\right)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} \left(\mathbf {C} \mathbf {G} ^{-1}\right)^{2}-4\mathrm {det} \left(\mathbf {C} \mathbf {G} ^{-1}\right)}}\right)$ Achtung!!! Die eigentlichen Eigenwerte ergeben sich erst durch Wurzelziehen.

Regel
Die Verzerrungsparameter λU und λV sind gleichzeitig die extremalen Verzerrungen, wenn alle Parameterlinien in Urbild und Abbild sich senkrecht schneiden, also wenn GL und CL Diagonalform besitzen, d.h. wenn alle Nicht-Diagonalelemente Null sind.

Definition der zugehörigen Eigenvektoren

Die zu den Eigenwerten λ1 , λ2 gehörenden Eigenvektoren berechnen sich wie folgt: ${\vec {x}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {(C_{22}-\lambda _{1}^{2}G_{22})^{2}G_{11}-2(C_{12}-\lambda _{1}^{2}G_{12})(C_{22}-\lambda _{1}^{2}G_{22})G_{12}+(C_{12}-\lambda _{1}^{2}G_{12})^{2}G_{22}}}}{\begin{pmatrix}C_{22}-\lambda _{1}^{2}G_{22}\\-(C_{12}-\lambda _{1}^{2}G_{12})\end{pmatrix}}$ ${\vec {x}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {(C_{11}-\lambda _{2}^{2}G_{11})^{2}G_{22}-2(C_{12}-\lambda _{2}^{2}G_{12})(C_{11}-\lambda _{2}^{2}G_{11})G_{12}+(C_{12}-\lambda _{2}^{2}G_{12})^{2}G_{11}}}}{\begin{pmatrix}-(C_{12}-\lambda _{2}^{2}G_{12})\\C_{11}-\lambda _{2}^{2}G_{11}\end{pmatrix}}$

Ansatz

Die Idee ist, Kreise im Urbild in das Abbild abzubilden.

• Bleibt der Radius des Kreises gleich, ist die Abbildung Streckentreu
• Ändert sich der Radius liegt Winkeltreue vor.
• Wird der Kreis zu Ellipse abgebildet, kann in manchen Fällen Flächentreue vorliegen.

Aus der linearen Algebra wissen wir vielleicht, dass jede positiv definite 2x2 Matrix eine Ellipse darstellt. Die Eigenwerte der Matrix sind die Länge der großen und kleinen Halbachse, die Richtungen der Halbachsen bezüglich des Parametersystems sind die 2 Eigenvektoren.

Wir haben zwei Matrizen:

$\mathbf {C} _{l}={\begin{pmatrix}c_{11}&c{12}\\c_{21}&c{22}\end{pmatrix}}$

$\mathbf {G_{l}} ={\begin{pmatrix}g_{11}&g{12}\\g_{21}&g{22}\end{pmatrix}}$

In der Kartenprojektion sind diese Matrizen immer positiv definit. Es kann also losgehen. Wir bestimmen simultan die Eigenwerte und Eigenvektoren von C_L und verändern G_L so, dass es einen Einheitskreis beschreibt (Einheitsmatrix).

Dies geschieht mit dem Ansatz

$\mathrm {det} (\mathbf {G} _{l}-\lambda \mathbf {C} _{l})=0$

λ sind die beiden Eigenwerte λ₁ und λ₂. Die Eigenvektoren ergeben sich in Abhängigkeit von Multiplikationsparametern. Diese werden so gewählt, dass G_L zur Einheitsmatrix wird. Dieser Ansatz führt auf die Eingangs angegebenen Formeln.

Da wir alle für die geometrische Beschreibung der Ellipsen notwendigen Elemente haben, müssen G und C nicht mehr zu Kreis bzw. Ellipse transformiert werden. Wir machen es hier trotzdem.

Seien ${\vec {x}}_{1}$ und ${\vec {x}}_{2}$ die zu λ₁ und λ₂ gehörenden Eigenvektoren. Aus Den Vektoren wird die Transformationsmatrix F(2x2) aufgestellt. Die Spalten werden von den Eigenvektoren gebildet.

$\mathbf {F} ={\begin{pmatrix}x1_{1}&x2_{1}\\x1_{2}&x2_{2}\end{pmatrix}}$

Transformation

$\mathbf {F} ^{T}\mathbf {C} _{L}\mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}}$

$\mathbf {F} ^{T}\mathbf {G} _{L}\mathbf {F} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

Beispiel

Wir führen unser bisheriges Beispiel fort und betrachten die Tensoren.

$\mathbf {C} _{l}={\begin{pmatrix}4R^{2}\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)&0\\0&{\frac {R^{2}}{\cos ^{4}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)}}\end{pmatrix}}$

$\mathbf {G_{l}} ={\begin{pmatrix}R^{2}\cos ^{2}V&0\\0&R^{2}\end{pmatrix}}$

Uns fällt auf, dass bei Matrizen Diagonalgestalt besitzen. Wir müssen nur noch G_L zur Einheitsmatrix machen und C_L entsprechend verändern, dann können wir die Eigenwerte und damit die Hauptstreckungen direkt ablesen. Formal geschieht dies über Eigenvektoren, wir kürzen das ab und dividieren die Elemente durcheinander.

$\lambda _{1}={\frac {4R^{2}\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)}{R^{2}\cos ^{2}V}}={\frac {1}{\cos ^{4}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)}}$

$\lambda _{2}={\frac {\frac {R^{2}}{\cos ^{4}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)}}{R^{2}}}={\frac {1}{\cos ^{4}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)}}$

Uns fällt auf, dass

1. λ₁ = λ₂ ist. Da Abbildung ist überall Winkeltreu!
2. Die Hauptverzerrungsparameter gleich den Verzerrungsparametern bezüglich der U, V Parameterlinien sind. Wir merken uns:

Regel
Die Verzerrungsparameter λU und λV sind gleichzeitig die extremalen Verzerrungen, wenn alle Parameterlinien in Urbild und Abbild sich senkrecht schneiden, also wenn GL und CL Diagonalform besitzen, d.h. wenn alle Nicht-Diagonalelemente Null sind.

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