Ing Mathematik: Numerisches Lösen von Eigenwertproblemen

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Insbesondere bei Schwingungen sind Eigenwerte und -vektoren von Bedeutung (siehe z.B. Schwingung oder Hagedorn, Hochlenert: Technische Schwingungslehre. Harri Deutsch, 2012, ISBN 978-3-8171-1890-8). Aber auch die Hauptspannungen in der Festigkeitslehre können als Eigenwertproblem behandelt werden (siehe z.B. Mechanische_Spannung#Hauptspannung_und_Hauptspannungsrichtung und Hagedorn, Wallaschek: Technische Mechanik Bd.2, Festigkeitslehre. Europa, 5.Aufl., 2015, ISBN 978-3-8085-5691-7).

Eigenwerte und Eigenvektoren - Allgemeines

Es sei

$Ax=\lambda x$ mit $A\in \mathbb {R} ^{n\times n},x\in \mathbb {R} ^{n},\lambda \in \mathbb {R}$ .

$Ax-\lambda Ix=0$ mit $I$ als nxn-Einheitsmatrix.

$(A-\lambda I)x=0$

Für nicht triviale Lösungen ( $x\neq 0$ ) muss gelten:

$\det(A-\lambda I)=0$ (charakteristische Gleichung oder Säkulargleichung).

$\lambda ^{n}+\alpha _{n-1}\cdot \lambda ^{n-1}+\dotsb +\alpha _{1}\cdot \lambda +\alpha _{0}=0$ . Die Lösungen dieses Polynoms heißen Eigenwerte.

$\alpha _{0}=\det A;\quad \alpha _{n-1}={\text{Spur}}A;\quad \alpha _{n}=1$

Ein Polynom vom Grad n hat maximal n Nullstellen. D.h. es gibt auch höchstens n Eigenwerte. Die zu $\lambda _{i}$ gehörenden Vektoren $x_{i}\neq 0$ heißen Eigenvektoren.

Siehe auch Eigenwerte und Eigenvektoren.

Ein Beispiel mit Python und SciPy:

import numpy as np
import scipy.linalg as la

A = np.array([[ 24,  54, -38,  -8],
              [-11, -27,  20,  -2],
              [  0,  -2,   3,  -6],
              [  6,  14,  -10, -1]])

w, v = la.eig(A)

# Eigenwerte
print(w)
# Eigenvektoren
print(v)

Ausgabe:

[-3.+0.j  2.+0.j  1.+0.j -1.+0.j]
[[-9.05821627e-01  4.08248290e-01 -9.25820100e-01  9.17662935e-01]
 [ 3.39683110e-01  4.08248290e-01  1.54303350e-01 -2.29415734e-01]
 [-1.13227703e-01  8.16496581e-01 -3.08606700e-01  2.29415734e-01]
 [-2.26455407e-01  1.93235474e-14 -1.54303350e-01  2.29415734e-01]]

Siehe auch [1]

Spektrum einer Matrix

Die Menge der Eigenwerte nennt man das Spektrum $\sigma (A)$ . Der Spektralradius ist $\rho =max(|\lambda _{i}|)$ .

Vielfachheiten

Algebraische Vielfachheit: $\kappa _{i}$ (k-facher Eigenwert von $A$ )

{\text{Spur}}A=\kappa _{1}\lambda _{1}+\dots \kappa _{r}\gamma _{r}

\det A=\lambda _{1}^{\kappa _{1}}\dots \lambda _{r}^{\gamma _{r}}

Geometrische Vielfachheit: $\gamma _{i}={\text{dim Kern}}(A-\lambda _{i}I)=n-{\text{Rang}}(A-\lambda _{i}I)$

Mehrfache Nullstellen werden entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt.

Symmetrische Matrizen

Für reelle, symmetrische Matrizen gilt:

Eigenwerte sind reell
Eigenwerte stehen senkrecht aufeinander
geometrische und algebraische Vielfachheit stimmen bei jedem Eigenwert überein.

Seien

p ... Anzahl der positiven Eigenwerte der symmetrischen Matrix $S$
q ... Anzahl der negativen Eigenwerte der symmetrischen Matrix $S$
d ... Anzahl der Eigenwerte die Null sind.

Dann sind

(p, q) ... Signatur von $S$
p-q ... Trägheitsindex von $S$
d ... Defekt von $S$ .

Eine symmetrische Matrix ist positiv definit, wenn alle ihre Eigenwerte > 0 sind.

Siehe auch Defekt (Mathematik).

Diagonalisierbarkeit

Eine Matrix $A$ lässt sich diagonalisieren, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren $x_{1},\dots ,x_{n}$ aufweist.

$C=(x_{1},\dots ,x_{n})$

$C^{-1}AC={\text{diag}}(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$

Jordansche Normalform

Marie Ennemond Camille Jordan (französischer Mathematiker, 1838-1922)

Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar. Aber jede quadratisch komplexe Matrix $A$ lässt sich auf die jordansche Normalform $J$ bringen.

$T^{-1}AT=J={\begin{pmatrix}J_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&J_{k}\end{pmatrix}}$

mit $T$ regulär komplex, $J_{j}={\begin{pmatrix}\lambda _{j}&1&&&0\\&\lambda _{j}&1&&\\&&\ddots {}&\ddots {}\\&&&\lambda _{j}&1\\0&&&&\lambda _{j}\end{pmatrix}}\in \mathbb {C} ^{s_{j}\times s_{j}}$

Wie man die Transformation auf die jordansche Normalform durchführt (Berechnung von $J,T$ aus gegebenen $A$ ), siehe z.B. Burg, Haf, Wille, Meister: Seite 237ff. Dies ist einigermaßen aufwendig. Umgekehrt ist das natürlich sehr einfach.

Shift - Verschieben von Eigenwerten

Sind $\lambda _{i}$ die Eigenwerte der nxn-Matrix $A$ , so hat die Matrix $A_{\epsilon }=A+\epsilon I$ die Eigenwerte $\mu _{i}=\lambda _{i}+\epsilon$ . $\lambda _{i}$ und die $\mu _{i}$ haben gleiche algebraische Vielfachheit.

Hessenbergmatrix

Eine (obere) Hessenbergmatrix ist eine quadratische Matrix $H\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ , deren Einträge unterhalb der ersten Nebendiagonalen gleich Null sind, also $h_{ij}=0$ für alle $i>j+1$ .

$H={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}&h_{13}&\cdots &h_{1n}\\h_{21}&h_{22}&h_{23}&\cdots &h_{2n}\\0&h_{32}&h_{33}&\cdots &h_{3n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&h_{nn-1}&h_{nn}\end{pmatrix}}$

Siehe auch Hessenbergmatrix.

Jacobi-Verfahren

Dieses Verfahren eignet sich für kleine reelle symmetrische Matrizen. Es arbeitet mit Givens-Rotationen:

$A^{(0)}=A$

$R_{k}={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &\cos \varphi &\cdots &\sin \varphi &\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &-\sin \varphi &\cdots &\cos \varphi &\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix}},$

Damit folgt wieder die symmetrische Matrix $A^{(1)}=R_{k}^{T}AR_{k}$ . Führt man dies immer weiter durch, so ergibt sich eine Diagonalmatrix.

$A^{(k+1)}=R_{k}^{T}A^{(k)}R_{k}=\underbrace {R_{k}^{T}R_{k-1}^{T}\ldots R_{0}^{T}} _{T_{k}^{T}}A^{(0)}\underbrace {R_{0}\ldots R_{k-1}R_{k}} _{T_{k}}={\text{diag}}(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$

Siehe auch Jacobi-Verfahren (Eigenwerte), Burg, Haf, Wille, Meister: Seite 251ff, Hanke-Bourgeois: Seite 238ff oder [2].

Potenzmethode nach von Mises

Richard von Mises (österreichisch-US-amerikanischer Mathematiker, 1883-1953)

Sie wird auch Vektoriteration oder Von-Mises-Iteration genannt und berechnet den betragsgrößten Eigenwert. Sie eignet sich besonders für dünnbesetzte Matrizen.

Siehe auch Potenzmethode, Burg, Haf, Wille, Meister: Seite 254ff, Hanke-Bourgeois: Seite 218ff

Gedruckte Werke (auszugsweise)

Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure, Band II: Lineare Algebra. 7. Auflage, Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1853-9
Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. 3. Aufl., Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0708-3

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