Ing Mathematik: Folgen


Folgen stellen das Rückgrat der modernen Analysis und somit auch der Differential- und Intgeralrechnung dar. Auf Ihnen fußt die heute gängige Definition der reellen Zahlen und durch den Begriff der Konvergenz konnte die Infinitessimalrechnung auf ein mathematisch sauberes Gerüst gestellt werden. Wir werden uns in diesem Kapitel mit ihnen beschäftigen, verstehen was Konvergenz bedeutet und uns einige ihrer Eigenschaften anschauen.

DefinitionBearbeiten

Definition Folge

Eine Folge ist eine Funktion, die den Werten   im Definitionsbereich eine Zahl   im Wertebereich zuordnet. Ist   so heisst die Folge reelle Folge. Ist   so heisst die Folge komplexe Folge.

Zur Notation: Spricht man von der Folge an sich, so schreibt normalerweise Klammern:  . Mit einer solchen Notation ist die Menge der Folgenglieder gemeint; schreibt man nur  , so meint man tatsächlich das n-te Folgenglied.

Beispiele:

 
 
Die Folge  
 
 
Die Folge  
 
 
Die Folge  

Beschränktheit und MonotonieBearbeiten

Diese Eigentschaften sind recht intuitiv. Sei   eine reelle Folge. Dann gelten folgende Definitionen.

Definition Beschränktheit

Eine Folge ist nach oben beschränkt gdw.

 

gilt, also wenn es eine obere Schranke gibt.


Eine Folge ist nach unten beschränkt gdw.

 


Eine Folge ist beschränkt gdw.

 

oder alternativ

 

Bemerkung: Jede Zahl, für die die genannten Aussagen gelten, ist eine Schranke. Es handelt sich nicht zwangsläufig um die kleinste obere, bzw. größte untere Schranke!

Beispiele: Die Folge   ist beschränkt mit der unteren Schranke   und der oberen Schranke  .

 
Eine beschränkte und eine unbeschränkte Folge mit oberer Schranke der beschränkten


Definition Monotonie

Eine Folge heißt monoton wachsend oder steigend gdw.

 

also wenn jedes nachfolgende Folgenglied größer oder gleich dem vorherigen (und somit auch größer oder gleich allen vorherigen) ist.


Eine Folge heißt demnach monoton fallend gdw.

 


Eine Folge heißt streng monoton wachsend (fallend) gdw. jedes Folgenglied echt größer (echt kleiner) als das vorangehende ist.

Beispiele:

  ist monoton wachsend, sogar streng monoton.
  ist streng monoton fallend

KonvergenzbegriffBearbeiten

Betrachten wir nun einige Folgen, um sie näher zu untersuchen.

Beispiel 1
Sei  . Diese Folge steigt mit größer werdendem  , sie ist wie wir festgestellt haben unbeschränkt. Lassen wir   gegen Unendlich laufen, so geht auch   gegen Unendlich.
Beispiel 2
Sei  . Was passiert nun, wenn   steigt? Die Folge ist zwar beschränkt, springt aberzwischen 1 und -1 hin und her, sie alterniert.
Beispiel 3
Sei  . Wir wissen bereits, dass   mit zunehmenden   fällt. Die Folge wird jedoch nicht kleiner als 0, denn sie ist nach unten beschränkt. Tatsächlich wird der Abstand des  -ten Folgenglieds zur Achse mit immer größer werdenem   geringer, kein Folgenglied wird jedoch genau 0. Man sagt: Für   gegen Unendlich geht   gegen 0 oder   konvergiert gegen 0.

Doch was heißt Konvergenz genau? Erst seit etwa hundert Jahren hat man eine logisch konsistente Theorie, mit der man die Konvergenz erfasst; davor war es - wie sich der werte Leser momentan wahrscheinlich auch denkt - ein schwammige Intuition im Sinne von „es nähert sich irgendwie beliebig an“. Wir wollen nun die Definition verstehen.

Definition Nullfolge, Konvergenz

Sei   eine beliebige Folge.   ist eine Nullfolge gdw. wenn es zu jedem   eine Zahl   gibt, sodaß   für alle  . Man schreibt

  •   oder
  •   für  

und spricht

  •   konvergiert gegen 0 oder
  •   strebt gegen   für   gegen Unendlich.
Definition Grenzwert

  konvergiert gegen einen sog. Grenzwert   gdw. die Folge   eine Nullfolge ist, also wenn es zu jedem   eine Zahl   gibt, sodaß   für alle  . Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig.

Definition Divergenz

Existiert keine Zahl  , gegen die   konvergiert, d.h. hat   keinen Grenzwert, so divergiert  . Eine Folge divergiert also gdw. wenn sie nicht konvergiert. Hinweis: Unenedlich ist keine Zahl (zumindest in der Standardanalysis)

Veranschaulichen wir uns diese Definition. Sie besagt im Grunde Folgendes: Man bekommt eine beliebige positive Zahl ( ) vorgegeben und legt sich um den Grenzwert einen sog. Epsilonschlauch. Existiert eine natürliche Zahl   derart, dass alle Folgenglieder, die nach dem  -ten folgen, innerhalb dieses Schlauches liegen, dann konvergiert die Folge. Genial, oder? Dies muss allerdings für tatsächlich jedes noch so kleine   gelten!

Wir betrachten nochmal unsere Beispiele und einige weitere.

  •   divergiert. Geht die Folge gegen Unendlich spricht man auch von der sog. bestimmten Divergenz gegen Unendlich.
  •   divergiert.
  •   konvergiert mit Grenzwert 0.
Beispiel 4
Sei  . Diese Folge konvergiert nach unserer Definition, denn egal wie klein das   gewählt wird, die Folgenglieder liegen nicht nur beliebig nah um 3 herum, sondern ab dem ersten Glied sogar auf der 3. Selbiges gilt für jede konstante Folge.
Beispiel 5
Die Folge   ist eine Nullfolge.

Teilfolgen und HäufungspunkteBearbeiten

Aus der Menge der Bildpunkte einer Folge, kann man Teilmengen bilden. Zu dieser Teilmenge kann man nun eine Folge definieren (wenn auch nicht immer mit einer schönen „elementaren“ Formel), welche auf diese Punkte abbildet.

Definition Teilfolge

Eine Folge   mit   heisst Teilfolge von   gdw.   eine unendliche Teilmenge von   ist.

Beispiel 1
Sei  . Dann ist   eine Teilfolge von  
Beispiel 2
Sei  . Dann ist   eine Teilfolge von  
Beispiel 3
Sei  . Dann ist   eine Teilfolge von  

Beispiel 3 zeigt uns, dass Teilfolgen von divergenten Folgen durchaus konvergieren können.

Definition Häufungspunkt

Sei   eine Teilfolge einer beliebigen (konvergenten oder divergenten) Folge  . Konvergiert   gegen  , so heißt   Häufungspunkt von  .

Satz '

Sei   eine beliebige Folge.   konvergiert gegen   gdw.   der einzige Häufungspunkt von   ist. Jede Teilfolge von   konvergiert somit auch gegen  .

Die Folge aus Beispiel 3 hat also genau zwei Häufungspunkte 1 und -1. Dem größten und kleinsten Häufungspunkt gibt man spezielle Namen.

Definition Limes Superior, Limes Inferior

Sei   eine beliebige Folge. Besitzt   mehrere Häufungspunkte, so heisst der größte Häufungspunkt Limes Superior   und der kleinste Häufungspunkt Limes Inferior  .

Kommen wir zu der Frage, die Ihnen nun sicherlich auf der Zunge brennt (oder auch nicht): Kann ich immer eine konvergente Teilfolge finden? Die Antwort liefert der folgende Satz:

Satz von Bolzano-Weierstraß

Jede beschränkte Folge (egal ob konvergent oder divergent) enthält mindestens eine konvergente Teilfolge.

RechenregelnBearbeiten

Als Ingenieur sollte man rechnen, und zum rechnen gibt es Regeln. Die Wichtigsten betrachten wir nun.

Satz Addition

Konvergieren   und  , so konvergiert auch   und es gilt  .

Satz Multiplikation

Konvergieren   und  , so konvergiert auch   und es gilt  .

Satz Division

Konvergieren   und   und gilt   so konvergiert auch   und es gilt  .

ÜbungenBearbeiten