Ing: Grundlagen der Elektrotechnik/ Druckversion/ Parallel- und Reihenschaltungen

Der Widerstand

Die Reihenschaltung

Werden n Widerstände mit einem Widerstandswert von $R_{1}$ bis $R_{n}$ in Reihe geschaltet, so gilt für den Gesamtwiderstand: $R_{ges}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+\dots +R_{n}$.

Der durch die Reihenschaltung fließende Strom ist in jedem Widerstand gleich groß:

$I_{ges}=I_{1}=I_{2}=I_{3}=...=I_{n}\,$.

Die Spannung an den jeweiligen Widerständen beträgt:

${\begin{alignedat}{2}U_{1}=I_{ges}\cdot R_{1}\\U_{2}=I_{ges}\cdot R_{2}\\\vdots \qquad \\U_{n}=I_{ges}\cdot R_{n}\end{alignedat}}$

Die Parallelschaltung

Allgemein

Werden n Widerstände mit einem Widerstandswert von $R_{1}$ bis $R_{n}$ parallel geschaltet, so berechnet sich der Gesamtwiderstand:
$R_{ges}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+\dots +{\frac {1}{R_{n}}}}}$

Für den Gesamtleitwert:
$G_{ges}={\frac {1}{R_{ges}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+\dots +{\frac {1}{R_{n}}}$

oder:
$G_{ges}={G_{1}}+{G_{2}}+{G_{3}}+\dots +{G_{n}}$

Speziell

Bei zwei Widerständen die parallel geschaltet werden gilt folgende Vereinfachung:

$R_{ges}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

Ist $R_{1}=R_{2}$, dann ist $R_{ges}={\frac {R_{1}}{2}}$.

Ist $R_{1}=R_{2}=R_{n}$, dann ist $R_{ges}={\frac {R_{1}}{n}}$.

 

Widerstand in einem unendlichen Gitter

Widerstand in einem unendlichen Gitter von 1-Ohm-Widerständen zwischen zwei Knoten

In einem unendlichen Gitter von 1-Ohm-Widerständen steigt der Widerstand zwischen zwei Knoten mit dem Abstand.

Der Kondensator

Die Reihenschaltung

Werden Kapazitäten in Reihe geschaltet, ergibt sich der Kehrwert der Gesamtkapazität aus der Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten.

${1 \over C}={1 \over C_{1}}+{1 \over C_{2}}+{1 \over C_{3}}+...{1 \over C_{n}}$

oder

$C={1 \over {1 \over C_{1}}+{1 \over C_{2}}+{1 \over C_{3}}+...{1 \over C_{n}}}$

Die Parallelschaltung

Werden n Kapazitäten parallel zueinander geschaltet, ergibt sich die Gesamtkapazität aus der Summe der n Einzelkapazitäten.

$C=C_{1}+C_{2}+C_{3}+...+C_{n}$

 

Reihenschaltung von Kapazitäten und Widerständen

RC-Reihenschaltung an Gleichspannung

Wird ein Kondensator in Reihe zu einem Widerstand mit Gleichspannung betrieben, hat der Widerstand Einfluss auf die Lade- und Entladezeit.

Größerer Widerstand -> längere Lade- und Entladezeit
Kleinerer Widerstand -> kürzere Lade- und Entladezeit

Die Lade - und Entladezeit wird mit der Zeitkonstante $\tau \$ bestimmt. Nach einer Zeit von $5\cdot \tau$ ist der Lade- oder Entladevorgang so gut wie abgeschlossen. Die restliche Zeit kann vernachlässigt werden.
$\tau$ lässt sich mit der folgenden Formel berechnen.
$\tau =R\cdot C$

Der zeitliche Verlauf der Spannung beim Laden (eines entladenen Kondensators) und Entladen wird durch die folgenden Funktionen beschrieben:

Laden: $u_{C}(t)=U_{1}\cdot (1-e^{-{\frac {1}{\tau }}})$

Entladen: $u_{C}(t)=U_{0}\cdot e^{-{\frac {1}{\tau }}}$

Mit $U_{1}\$ = angelegte Gleichspannung, $U_{0}\$ = Kondensatorspannung zu Beginn der Entladung.

RC-Reihenschaltung an Wechselspannung

Wird ein Kondensator in Reihe zu einem Widerstand mit Wechselspannung betrieben, wird der Kondensator als kapazitiver Blindwiderstand und der Widerstand als Wirkwiderstand bezeichnet.
So kommen drei verschiedene Spannungen und Widerstände zustande.
Spannungen:

• Betriebsspannung ($U$)
• Wirkspannung ($U_{w}$)
• Blindspannung ($U_{bC}$)

Widerstände:

• Scheinwiderstand (Betrag der Impedanz) ($Z$)
• Kapazitiver Blindwiderstand ($X_{C}$)
• Wirkwiderstand ($R$)

Der Strom ($I$) ist in der Reihenschaltung überall gleich.
Die einzelnen Größen lassen sich rechnerisch oder zeichnerisch, mit einem Zeigerdiagramm, bestimmen. Der Phasenverschiebungswinkel($\phi$) kann auch für die Bestimmung der einzelnen Größen verwendet werden.
Zeichnerische Methode:

Rechnerische Methode:

$Z^{2}=R^{2}+X_{C}^{2}$ ; $Z={\sqrt[{2}]{R^{2}+X_{C}^{2}}}$

$U^{2}=U_{w}^{2}+U_{bC}^{2}$ ; $U={\sqrt[{2}]{U_{w}^{2}+U_{bC}^{2}}}$

$I={\frac {U}{Z}}$

$R=Z\cdot \cos \varphi$

$U_{w}=U\cdot \cos \varphi$

$X=Z\cdot \sin \varphi$

$U_{bC}=U\cdot \sin \varphi$

$X=R\cdot \tan \varphi$

$U_{bC}=U_{w}\cdot \tan \varphi$

 

Gemischte Schaltungen

Allgemein

Die Vereinfachung von gemischten Reihen- und Parallelschaltungen zu einem Widerstand heißt Zweipolersatzschaltung. Dabei wird die Schaltung schrittweise durch die bekannten Regeln vereinfacht.

Die Parallelschaltung $R_{Gesamt}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$ schreibt man vereinfacht: $R_{Gesamt}=R_{1}\|R_{2}$ , da größere Schaltungen sonst sehr unübersichtlich werden können.

Speziell

zwei einfache Beispielschaltungen

1. $R_{Gesamt}=R_{1}+(R_{2}\|R_{3})=R_{1}+{\frac {R_{2}\cdot R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}$
2. $R_{Gesamt}=(R_{1}+R_{2})\|R_{3}={\frac {(R_{1}+R_{2})\cdot R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}}$