Himmelsgesetze der Bewegung/ Fallschirmsprung

Fallschirmsprung: Beschreibung

Beim Fallschirmsprung gibt es zwei Kräfte. Die Gewichtskraft nach unten und der Luftwiderstand nach oben (gegen die Bewegung). Die Schwerkraft bleibt näherungsweise unverändert. Der Luftwiderstand aber nicht. Je größer die Geschwindigkeit, desto größer der Luftwiderstand. Wir können also den Vorgang so beschreiben:

Ganz am Anfang (null Geschwindigkeit) gibt es keinen Luftwiderstand, also die einzige Kraft ist das Gewicht und daher die Beschleunigung ist gleich der Fallbeschleunigung g der Erde (ca. 10 m/s²). Die Schwerkraft ist F_G=m g. Wegen der Gegenwirkung des Luftwiderstands, wird die Beschleunigung immer kleiner, bis sie irgendwann null wird. Null Beschleunigung heißt aber null Kraft (F = m · a). Da die Beschleunigung null ist, ist die Geschwindigkeit konstant. Die Bewegung ist am Anfang beschleunigt (aber nicht gleichmäßig, da die Beschleunigung immer kleiner wird) und am Ende gleichförmig.

Anwendung des 1. newtonschen Gesetzes beim Fallschirmsprung

Laut dem 1. newtonschen Gesetz, wenn die Geschwindigkeit konstant ist, muss die Gesamtkraft null sein. Wir wenden dieses Gesetz im Fall des Fallschirmsprungs an. Die einzigen Kräfte sind die Schwerkraft und der Luftwiderstand und sie wirken gegeneinander. Damit die Gesamtkraft null ist, muss daher gelten:

F_G = F_W

und daher

$m\cdot g={\frac {1}{2}}\cdot c_{w}\cdot \rho \cdot A\cdot v^{2}$

$\Rightarrow$

$v={\sqrt {\frac {2\cdot m\cdot g}{c_{w}\cdot \rho \cdot A}}}$

Die Dichte der Luft in der Stratosphäre

Stratosphäre ist die zweite Schicht der Erdatmosphäre (Atmosphäre ist die Luft, die die Erde, oder allgemeiner einen Planet, umhüllt). Manche Leute haben schon beim Fallschirmsprung aus dieser Höhe geschafft, die Schallgeschwindigkeit zu erreichen. Wie viel muss die Dichte der Luft höchstens sein, damit ein Mensch mit 80 kg Gewicht bei einem Fallschirmsprung aus der Stratosphäre beim Fallen mit dem Kopf voran die Schallgeschwindigkeit (ca. 1234,8 km/h) erreicht? (c_w= 0,8 , A= 300 cm²) Man muss die Formel umformen:

$m\cdot g={\frac {1}{2}}\cdot c_{w}\cdot \rho \cdot A\cdot v^{2}$

also

$\rho ={\frac {2\cdot m\cdot g}{c_{w}\cdot v^{2}\cdot A}}$

Man muss wieder vorsichtig mit den Einheiten sein: sie müssen alle übereinstimmen, daher müssen alle SI Einheiten sein (da für die Fallbeschleunigung uns bis daher keine andere Einheit bekannt ist). Daher muss die Fläche umgewandelt werden: 300 cm² sind 0,03 m². Man muss selbstverständlich auch 1234,8 km/h in 343 m/s umwandeln. Dann bekommt man die Dichte ρ≈0,55 kg/m³, ein bisschen mehr als die Dichte, in der einige Menschen die Schallgeschwindigkeit übertroffen haben. Obwohl wir hier Werte für die verschiedenen Größen (Schallgeschwindigkeit, c_w, g, m) benutzt haben, die nicht unbedingt den tatsächlichen Werten entsprechen, weicht unseres Ergebnis nicht sehr von der Dichte der Luft in dieser Höhe.

Geschwindigkeit beim Fallschirmsprung

Die Dichte der Luft ist ca. 1,2 kg/m³. Ein Fallschirmspringer wiegt samt Fallschirm 80 kg. Wie viel ist sein Endgeschwindigkeit, wenn er:

1. Waagerecht („mit dem Bauch“) fällt? (c_w= 1,6 , A= 2000 cm²)
2. Mit dem Kopf voran fällt? (c_w= 0,8 , A= 300 cm²)
3. Den Fallschirm öffnet? (c_w= 2 , A= 15 m²)

In allen drei Fällen muss einfach die Werte in die Formel

$v={\sqrt {\frac {2\cdot m\cdot g}{c_{w}\cdot \rho \cdot A}}}$

einsetzen. Man muss wieder vorsichtig mit den Einheiten sein: sie müssen alle übereinstimmen, daher müssen alle SI Einheiten sein (da für die Fallbeschleunigung uns bis daher keine andere Einheit bekannt ist). Daher muss die Fläche in Fragen 1. und 2. umgewandelt werden: 2000 cm² sind doch 0,2 m² und 300 cm²² sind 0,03 m². Wenn man das tut, bekommt man die Antworten: 1.Antwort 64,55 m/s (das Ergebnis ist selbstverständlich auch in SI Einheiten), also 232,34 km/h, 2.Antwort 235,7 m/s also 848,5 km/h, 3.Antwort 6,6... m/s also 24 km/h. Die Unterschiede sind in der Tat beeindruckend!

Newton und ein Fallschirmsprung in Jupiter

Selbstverständlich könnte man auch einen Fallschirmsprung in Jupiter ausprobieren. Ist das überhaupt möglich? Der interessierte Leser kann die notwendigen Werte im Internet finden und die Antwort selber herausfinden!