Himmelsgesetze der Bewegung/ Diagramme der geradlinigen Bewegung

Keine Bewegung

Konstanter Abstand vom Anfangspunkt	Null Geschwindigkeit	Null Beschleunigung

Wenn keine Bewegung stattfindet, dann befindet sich das Objekt immer am gleichen Ort. Daher wird die Darstellung in einem s-t Diagramm eine zur x-Achse parallele Gerade sein. Sowohl die Geschwindigkeit als auch die Beschleunigung werden null sein.

Gleichförmige Bewegung

Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit konstant, daher ist das v-t Diagramm eine zur x-Achse parallele Gerade. Ist die Geschwindigkeit positiv, befindet sich die Gerade über die x-Achse, bei negativer Geschwindigkeit hingegen unter der x-Achse.

Positive Geschwindigkeit

Abstand vom Anfangspunkt wird gleichförmig immer größer	konstante positive Geschwindigkeit	Null Beschleunigung

Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, läuft die Gerade im s-t Diagramm von unten links nach oben rechts. Warum das so ist, lernt man im Kapitel über die Steigung im s-t Diagramm. Das v-t Diagramm ist eine über der x-Achse und zu ihr parallele Gerade. Da die Geschwindigkeit konstant ist, gibt es keine Beschleunigung, also die Beschleunigung ist immer null.

Negative Geschwindigkeit

Abstand vom Anfangspunkt wird gleichförmig immer kleiner	konstante negative Geschwindigkeit	Null Beschleunigung

Wenn die Geschwindigkeit negativ ist, läuft die Gerade im s-t Diagramm von oben links nach unten rechts. Warum das so ist, lernt man im Kapitel über die Steigung im s-t Diagramm. Das v-t Diagramm ist eine unter der x-Achse und zu ihr parallele Gerade. Da die Geschwindigkeit konstant ist, gibt es keine Beschleunigung, also die Beschleunigung ist immer null.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist die Beschleunigung konstant, daher ist das a-t Diagramm eine zur x-Achse parallele Gerade. Ist die Beschleunigung positiv, befindet sich die Gerade über die x-Achse, bei negativer Beschleunigung hingegen unter der x-Achse.

Positive Beschleunigung

Abstand vom Anfangspunkt "parabelförmig" immer größer	Geschwindigkeit wird gleichmäßig immer größer	Konstante positive Beschleunigung

Wenn die Beschleunigung positiv ist, läuft die Gerade im v-t Diagramm von unten links nach oben rechts. Warum das so ist, lernt man im Kapitel über die Steigung im v-t Diagramm. Das a-t Diagramm ist eine über der x-Achse und zu ihr parallele Gerade. Wie man bei der quadratischen Funktionen lernt, ist das s-t Diagramm eine Parabel.

Negative Beschleunigung

Abstand vom Anfangspunkt "parabelförmig" immer kleiner	Geschwindigkeit wird gleichmäßig immer kleiner	Konstante negative Beschleunigung

Wenn die Beschleunigung negativ ist, läuft die Gerade im v-t Diagramm von oben links nach unten rechts. Warum das so ist, lernt man im Kapitel über die Steigung im v-t Diagramm. Das a-t Diagramm ist eine unter der x-Achse und zu ihr parallele Gerade. Wie man bei der quadratischen Funktionen lernt, ist das s-t Diagramm eine Parabel.

Steigung in einem s-t Diagramm

(Bevor Sie diesen Absatz lesen, sollten Sie erst das Kapitel über lineare Funktionen und insbesondere den Teil über die Steigung bei zwei Punkten lesen)

Steigung einer Gerade:

a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}

Steigung in einem s-t Diagramm

Die Steigung einer Gerade ist allgemein die Differenz zwei y-Werte durch die Differenz der entsprechenden x-Werte, also ein Differenzenquotient (Bild links). Da bei einem s-t Diagramm auf der y-Achse die Strecke dargestellt wird und bei der x die Zeit (Bild rechts), ergibt sich der Quotient:

Steigung: $\qquad {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Der letzte Quotient ist nichts anders als die mittlere Geschwindigkeit, wie wir im Kapitel über die Grundbegriffe der Mechanik gelernt haben:

${\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Daher:

Die Steigung in einem s-t Diagramm zeigt uns die Geschwindigkeit

Im konkreten Beispiel rechts: s₁ ist zwei Einheiten, s₂ 5 Einheiten. Wenn die Einheiten der y-Achse Meter (m) sind, ist Δs=3 m. Entsprechend, wenn die Einheit auf der x-Achse Sekunde (s) ist, dann ist Δt=6 s. Die Steigung und daher auch die Geschwindigkeit ist in diesem Fall

${v}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {3m}{6s}}=0,5{\frac {m}{s}}$

Steigung in einem v-t Diagramm

(Bevor Sie diesen Absatz lesen, sollten Sie erst das Kapitel über lineare Funktionen und insbesondere den Teil über die Steigung bei zwei Punkten lesen)

Steigung einer Gerade:

a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}

Steigung in einem v-t Diagramm

Die Steigung einer Gerade ist allgemein die Differenz zwei y-Werte durch die Differenz der entsprechenden x-Werte, also ein Differenzenquotient (Bild links). Da bei einem v-t Diagramm auf der y-Achse die Geschwindigkeit dargestellt wird und bei der x die Zeit (Bild rechts), ergibt sich der Quotient:

Steigung: ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

Wie wir aber im Kapitel über die Grundbegriffe der Mechanik gelernt haben, ist der letzte Quotient nichts anders als die mittlere Beschleunigung:

${\bar {a}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

Daher:

Die Steigung in einem v-t Diagramm zeigt uns die Beschleunigung

Im konkreten Beispiel rechts: v₁ ist zwei Einheiten, v₂ 5 Einheiten, daher, wenn die Einheiten m/s (Meter pro Sekunde) sind, ist Δs=3m/s, und für Sekunde als Einheit auf der x-Achse ist Δt=6s. Die Steigung und daher auch die Beschleunigung ist in diesem Fall

${a}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {3m/s}{6s}}=0,5{\frac {\frac {m}{s}}{s}}=0,5{\frac {m}{s^{2}}}$

Fläche in einem v-t Diagramm

Wenn wir die Fläche des schattierten Rechtecks im v-t Diagramm berechnen wollen, können wir die Formel für die Fläche eines Rechtecks benutzen: Fläche ist Länge mal Breite, A=a⋅b. Allgemein wird eine Fläche in Flächeneinheiten berechnet, z.B. in m² oder cm². Die Fläche in einem Diagramm ist allerdings, genauso wie die Steigung, etwas Besonderes. In unserem Rechteck hier, ist die Breite des Rechtecks auf der y-Achse, die hier die Geschwindigkeit darstellt. Daher sind die Einheiten der Breite beispielsweise Meter pro Sekunde (m/s). Die Länge des Rechtecks steht auf der x-Achse und sie stellt die Zeit dar. Daher sind die Einheiten der Länge beispielsweise Sekunden (s). Wenn man die Einheiten multipliziert, ergibt sich:

${\frac {m}{s}}\cdot s=m$

Die Einheit für die Fläche in diesem Diagramm ist daher doch einfach Meter m (und nicht Quadratmeter)! Meter ist die Einheit einer Strecke. Also:

Die Fläche zwischen Kurve und x-Achse in einem v-t Diagramm zeigt uns die zurückgelegte Strecke.

In unserem Beispiel hier, wenn die Einheit für die y-Achse m/s ist und für die x-Achse s, wären es dann 2⋅3=6 m. Das bedeutet: bei einer konstanter Geschwindigkeit von 2 m/s werden nach 3 s 6m zurückgelegt.

Allgemeiner sind die Einheiten der Fläche in irgendeinem Diagramm die Einheiten der y-Achse mal die Einheiten der x-Achse.

s-t Diagramme in der geradlinigen Bewegung

Die Aufgabe hier ist, die Tabelle für die folgenden s-t Diagramme auszufüllen.

Spalte: Name des Diagramms
Spalte: Art der Bewegung: für gleichförmige Bewegung: F Für (ggf. gleichmäßig) beschleunigte: B Nichts von beiden N
Spalte: für konstante Geschwindigkeit: k sonst nk
Spalte: für positive Geschwindigkeit: + Für negative: - Für Null Geschwindigkeit: 0
Spalte: für positive Beschleunigung: + Für negative: - Für Null Beschleunigung: 0
Spalte: für Bewegung zurück zum Ursprung: Z Für Bewegung weg vom Ursprung: W Für Stillstand: S

Diagr. A	Diagr. B	Diagr. C	Diagr. D	Diagr. E	Diagr. F

Diagramm	Art der Bewegung	Geschw. Konstant?	Geschw. +, - oder 0?	Beschl. +, - oder 0?	zurück zum oder weg vom Ursprung?
Diagr. A	F	k	0	0	S
Diagr. B	B	nk	+	+	W
Diagr. C	F	k	-	0	Z
Diagr. D	F	k	+	0	W
Diagr. E	B	nk	-	-	Z
Diagr. F	F	k	-	0	W

Vergleichen wir die 2. (Art der Bewegung) und die 3. (konstante Geschwindigkeit) Spalte, stellen wir fest, dass bei einer gleichförmige Bewegung die Geschwindigkeit immer konstant ist, sonst ist die Bewegung beschleunigt und die Geschwindigkeit nicht konstant. Das ist schon logisch, da die gleichförmige Bewegung genau durch die konstante Geschwindigkeit definiert wird.
Im ersten Diagramm (erste Zeile) findet keine Bewegung statt. Der Abstand zum Ursprung bleibt konstant. Wir haben Stillstand. Daher ist die Geschwindigkeit 0 (und daher auch konstant) und gleichfalls die Beschleunigung.
Im 3., 4. und 6. Diagramm (2., 3., bzw. 6. Zeile) findet eine gleichförmige Bewegung statt. Die Geschwindigkeit ist konstant und sie ist in einem s-t Diagramm durch die Steigung gezeigt. Nur eine Gerade hat eine konstante Steigung, daher muss das s-t Diagramm eine Gerade sein. Läuft die Gerade nach oben ist die Steigung und daher die Geschwindigkeit positiv, läuft sie nach unten ist die Geschwindigkeit negativ (siehe Steigung)
Bei allen gleichförmigen Bewegungen sind die s-t Diagramme eine Gerade.
Im 3., 4. und 6. Diagramm (2., 3., bzw. 6. Zeile) ist die Geschwindigkeit konstant, daher ist die entsprechende Gerade im v-t Diagramm parallel zur x-Achse. Das bedeutet, dass in jeder Zeit (x-Achse) die Geschwindigkeit (y-Achse) gleich ist. Das bedeutet aber auch gleichzeitig, dass es keine Geschwindigkeitsänderung gibt. Laut Definition der Beschleunigung ist diese dann null (5.Spalte, 2., 3. und 6. Zeile).
im 2. und 5. Diagramm findet eine Beschleunigte Bewegung statt. Wie man später lernt, wenn die Beschleunigung konstant ist, ist die entsprechende Kurve in einem s-t Diagramm eine Parabel.
Vergleichen wir das 3. und das 6. Diagramm, stellen wir fest, dass die Geschwindigkeit negativ sein kann, auch wenn man sich von Ursprung weg bewegt. Wie das geht lernt man in der Vertiefung der Diagrammtheorie.

Kombination von s-t, v-t und a-t Diagrammen in der geradlinigen Bewegung





Diagramme A	Diagramme B	Diagramme C	Diagramme D	Diagramme E

In der ersten Zeile sieht man s-t Diagramme, in der zweiten die entsprechenden v-t Diagramme und in der dritten die entsprechenden a-t Diagramme. Zur Erinnerung, s ist die Strecke, v die Geschwindigkeit, a die Beschleunigung und t die Zeit.

Wir können die Information aus dem letzten Absatz benutzten, um diese Diagrammtabelle zu verstehen.

In der ersten Spalte (Diagramme A) haben wir Stillstand (keine Bewegung) daher ist sowohl v (2. Zeile) als auch a (3. Zeile) null.
In der zweiten Spalte (Diagramme B) haben wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung daher ist der Graph im s-t Diagramm (1. Zeile) eine Parabel, im v-t Diagramm (2. Zeile) eine steigende Gerade (positive Steigung also positive Beschleunigung) und in a-t Diagramm (3. Zeile) eine Gerade parallel zur x-Achse (konstante positive Beschleunigung also über der x-Achse).
In der dritten Spalte (Diagramme C) haben wir eine gleichförmige Bewegung (konstante Geschwindigkeit) daher ist der Graph im s-t Diagramm (1. Zeile) eine fallende (negative Steigung also negative Geschwindigkeit) Gerade, im v-t Diagramm (2. Zeile) eine Gerade parallel zur x-Achse (konstante negative Geschwindigkeit also unter der x-Achse). Da die Geschwindigkeit konstant ist, gibt es keine Geschwindigkeitsänderung, daher ist die Beschleunigung immer null.
In der vierten Spalte (Diagramme D) haben wir eine gleichförmige Bewegung (konstante Geschwindigkeit) daher ist der Graph im s-t Diagramm (1. Zeile) eine steigende (positive Steigung also positive Geschwindigkeit) Gerade, im v-t Diagramm (2. Zeile) eine Gerade parallel zur x-Achse (konstante positive Geschwindigkeit also über der x-Achse). Da die Geschwindigkeit wieder konstant ist, gibt es keine Geschwindigkeitsänderung, daher ist die Beschleunigung immer null.
In der fünften Spalte (Diagramme E) haben wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung daher ist der Graph im s-t Diagramm (1. Zeile) eine Parabel, im v-t Diagramm (2. Zeile) eine fallende Gerade (negative Steigung also negative Beschleunigung) und in a-t Diagramm (3. Zeile) eine Gerade parallel zur x-Achse (konstante negative Beschleunigung, also unter der x-Achse).