Himmelsgesetze der Bewegung/ Auftrieb

Sinken, schwimmen, schweben

• 
  Bild 1
• 
  Bild 2
• 
  Bild 3
• 
  Bild 4

Wenn man einen Körper ins Wasser wirft, gibt es drei Möglichkeiten:

1. Der Körper sinkt bis zum Boden (Metall-Stuck am Boden im Bild 2, Schrauben im Bild 3, Ball oben im Bild 4)
2. Der Körper schwimmt auf der Oberfläche (Mensch im Bild 1, Korken im Bild 3, Ball in der Mitte im Bild 4).
3. Der Körper schwebt, also er bleibt in irgendeine Stelle im Wasser stehen (Wachs im Öl im Bild 2, Ball unten im Bild 4).

Wovon hängt das Ergebnis ab? Von der Dichte! Im ersten Fall (Sinken) ist die Dichte des Körpers größer und im zweiten (Schwimmen) kleiner als die Dichte des Wassers. Im dritten Fall sind sie gleich.

"Sinken", "schwimmen" oder schweben kann ein Gegenstand auch in der Luft.

• 
  Bild 5
• 
  Bild 6
• 
  Bild 7

• Video 1
• Video 2

1. Jeder Gegenstand, der sich auf dem Boden der Erde befindet, ist im physikalischen Sinn in der Erdatmosphäre "gesunken" (Bild 5). Jedes mal, das wir hüpfen, sinken wir dann wieder auf den Erdboden!
2. Wetterballons quasi "schwimmen" auf den oberen Schichten der Erdatmosphäre (Bild 6, Video 1: 39 bis 49s)
3. Heißluftballons schweben in der Atmosphäre, wenn sie "fliegen" (Bild 7, Video 2)

Wieder liegt der Grund an der Dichte. Also allgemeiner:

Ein Körper in einem Fluid

1. sinkt, wenn seine Dichte größer
2. schwimmt, wenn seine Dichte kleiner
3. schwebt, wenn seine Dichte gleich

wie die Dichte des Fluids ist.

Erklärung durch Kräfte

Wie wir im Kapitel über den Druck in Fluiden gesehen haben, ist der Druck in einer gewissen Tiefe h

$p(h)=\rho \cdot g\cdot h+p_{0}$

Bild 8

Im Bild 8 werden die Kräfte dargestellt (p₀ wird hier vernachlässigt). Aus der Formel für den Druck finden wir die entsprechende Formel für die Kraft in einer gewissen Tiefe h:

$F(h)=\rho \cdot g\cdot h\cdot A$

"Ursache für die Auftriebskraft ist der Kraftunterschied zwischen der Ober- und der Unterseite eines eingetauchten Körpers. Die Kräfte, die auf die Seitenflächen einwirken, spielen keine Rolle, da sie sich gegenseitig aufheben. Das heißt, es wirkt auf die unteren Teile eines eingetauchten Körpers eine größere Kraft als auf die oberen Teile der Oberfläche." (dieser Teil ist aus wiki) Genauer gilt (wie auch im Bild 8 zu sehen ist):

• Druckkraft oben (nach unten gerichtet):  $F_{O}=\rho \cdot g\cdot z_{0}\cdot A$
• Druckkraft unten (nach oben gerichtet):  $F_{U}=\rho \cdot g\cdot (z_{0}+h)\cdot A$

Daher ist die Gesamt-Auftriebskraft F_A (nach oben gerichtet):

$F_{U}-F_{O}=\rho \cdot g\cdot (z_{0}+h)\cdot A-\rho \cdot g\cdot z_{0}\cdot A$

Auftriebskraft:    $\mathbf {F_{A}=\rho \cdot g\cdot h\cdot A} \,\qquad (1)$

wobei h der Tiefe-Unterschied zwischen oberen und unteren Punkt des eingetauchten Objektes ist.

1. Wenn die Gewichtskraft des Körpers größer als die Auftriebskraft ist, dann sinkt er.
2. Wenn die Gewichtskraft des Körpers kleiner als die Auftriebskraft ist, dann schwimmt er.
3. Wenn die Gewichtskraft des Körpers gleich der Auftriebskraft ist, dann schwebt er.

Diese Regeln gelten in allen Fluiden, also sowohl in Flüssigkeiten als auch in Gasen.

Das verdrängte Fluid

Man kann zeigen, dass die Auftriebskraft dem Gewicht des verdrängten Fluides gleicht:

(1):  $F_{A}=\rho \cdot g\cdot h\cdot A=\rho \cdot g\cdot V=m\cdot g$

Das Volumen des Verdrängten Fluides ist genau so viel, wie das Volumen des eingetauchten Körpers. Daher:

1. Wenn die Gewichtskraft des Körpers größer als die Gewichtskraft des verdrängten Fluides ist, dann sinkt er.
2. Wenn die Gewichtskraft des Körpers kleiner als die Gewichtskraft des verdrängten Fluides ist, dann schwimmt er.
3. Wenn die Gewichtskraft des Körpers gleich der Gewichtskraft des verdrängten Fluides ist, dann schwebt er.

Wie ein U-Boot funktioniert

(Aus wiki, wenig geändert)

Bathyscaph Animation

Die Auf- und Abwärtsbewegung wird durch Ballast gesteuert, also mit Hilfe eines Stoffes, das Hohlräume im U-Boot ausfüllt. Wenn die Räume leer sind, also nur mit Luft gefüllt, ist die Gesamtmasse und daher auch die Dichte des U-Boots kleiner. Der Ballast ist auch für die Stabilität und das Gleichgewicht des U-Boots wichtig.

Im Bild sieht man ganz vorne und hinten zwei am Anfang leere Hohlräume. Sie werden beim abtauchen mit Wasser gefüllt. Dadurch erhöht sich die Gesamtmasse und daher die Gesamtdichte des U-Boots und wird seine Dichte größer als die des Wassers (außerhalb des U-Boots). Mittig sieht man auch noch zwei Hohlräume, die am Anfang mit einem schwereren Material (z.B. Eisen) gefüllt sind. Wenn das U-Boot in der Tiefe ist und wieder auftauchen muss, dann wird dieses Material abgeworfen. Dadurch wird die Gesamtdichte des U-Boots kleiner als die des Wassers und das U-Boot taucht auf bis es wieder schwimmt.

1. Das Benzin und die zu Beginn luftgefüllten Wasser-Ballasttanks sorgen für Auftrieb: Der Bathyscaph oder das U-Boot schwimmt.
2. Zu Beginn des Tauchgangs werden die Wasser-Ballasttanks geflutet: Der Auftrieb verringert sich, das U-Boot sinkt.
3. Zum Auftauchen wird Eisenballast abgeworfen: Der Bathyscaph steigt wieder auf.

Die Steuerung ähnelt daher einem Ballon.

Archimedes und die Krone

(aus wiki, kaum verändert, wenig ergänzt)

Archimedes

Archimedes und die Krone

Archimedes war von König Hieron II. von Syrakus beauftragt worden, herauszufinden, ob dessen Krone wie bestellt aus reinem Gold wäre oder ob das Material durch billigeres Metall gestreckt worden sei. Diese Aufgabe stellte Archimedes zunächst vor Probleme, da die Krone natürlich nicht zerstört werden durfte.

Der Überlieferung nach hatte Archimedes schließlich den rettenden Einfall, als er zum Baden in eine bis zum Rand gefüllte Wanne stieg und dabei das Wasser überlief. Er erkannte, dass die Menge Wasser, die übergelaufen war, genau seinem Körpervolumen entsprach. Angeblich lief er dann, nackt wie er war, durch die Straßen und rief „Heureka!“ („Ich habe es gefunden“).

Um die gestellte Aufgabe zu lösen, tauchte er einmal die Krone und dann einen Goldbarren, der genauso viel wog wie die Krone, in einen bis zum Rand gefüllten Wasserbehälter und maß die Menge des überlaufenden Wassers. Formen wir die Formel für die Dichte aufs Volumen um ($V={\frac {m}{\rho }}$), dann stellen wir fest, dass das Volumen desto größer ist, je kleiner die Dichte ist. Jedes Material hat eine bestimmte Dichte. Wenn für die Herstellung der Krone auch ein anderes Material außer Gold benutzt wird, dann ist die Gesamtdichte unterschiedlich und daher bei einer gleichen Masse auch das Volumen. Die Krone verdrängte mehr Wasser als der Goldbarren. Sie war also bei gleichem Gewicht voluminöser und daher musste sie aus einem Material geringerer Dichte, also nicht aus reinem Gold, gefertigt worden sein.

Diese Geschichte wurde vom römischen Architekten Vitruv überliefert.

Im Bild sieht man noch eine andere Möglichkeit die Echtheit der Krone zu überprüfen. Die Waage ist am Anfang im Gleichgewicht. Die Krone verdrängt mehr Wasser (sie hat eine kleinere Dichte also mehr Volumen). Daher ist die Auftriebskraft in ihrem Fall größer und die Waage kippt Richtung Goldbarren.