Formelsammlung Mathematik: Vektorräume

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Lineare AbhängigkeitBearbeiten

Definition. Lineare Abhängigkeit.

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Eine endliche Familie   von Vektoren aus V heißt linear abhängig, wenn es Skalare   aus K gibt, die nicht alle gleich null sind und trotzdem

 

erfüllen. Eine Familie von Vektoren die nicht linear abhängig ist, heißt linear unabhängig.

Äquivalente Charakterisierung.

Eine endliche Familie von Vektoren ist genau dann linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkombination aus den anderen darstellen lässt.

Äquivalente Charakterisierung über das äußere Produkt.

Eine endliche Familie   von Vektoren aus V ist genau dann linear abhängig, wenn

 

Sei speziell n die Dimension von V, sei   eine Basis von V und sei

 

Die Familie ist nun genau dann linear abhängig, wenn

 


Jede Familie, die den Nullvektor enthält, ist linear abhängig.

In einem Vektorraum der Dimension n ist eine Familie von mehr als n Vektoren immer linear abhängig.