Formelsammlung Mathematik: Topologie: Grundbegriffe

Formelsammlung Mathematik

Topologischer RaumBearbeiten

Definition. Topologie, topologischer Raum, offene Menge, abgeschlossene Menge.

Eine Teilmenge   der Potenzmenge von   heißt Topologie, wenn folgende drei Axiome erfüllt sind:

  1.   und  ,
  2.  ,
  3.  .

Das Paar   heißt topologischer Raum.

Ein Element von   heißt offene Menge.

Eine Menge   heißt abgeschlossen, wenn   offen ist.

UmgebungenBearbeiten

Definition. Offene Umgebung, Umgebung, Umgebungsfilter.

Ist   und   eine offene Menge, so wird   als offene Umgebung von   bezeichnet.

Umgebungsfilter:

 

Ein Element von   wird Umgebung von   genannt.


Definition. Offener Kern, innerer Punkt.

Offener Kern:

 

Ein Element von   wird innerer Punkt von   genannt.


Definition. Äußeres, äußerer Punkt.

Äußeres:

 

Ein Element von   heißt äußerer Punkt von  .


Definition. Abschluss.

Abgeschlossene Hülle, kurz Abschluss:

 


Definition. Rand. Randpunkt.

Rand:

 

Ein Element von   heißt Randpunkt von  .

Es gilt die disjunkte Zerlegung:

 

KonstruktionenBearbeiten

Topologische SummeBearbeiten

Seien   topologische Räume. Sei

 

Sei in Analogie zur Inklusionsabbdildung

 

Definition. Topologische Summe.

Die topologische Summe ist der topologische Raum   mit der Topologie

 

bzw.

 

Beachte:

 

Bemerkung.

Sind die   schon disjunkt, so braucht man sie nicht unbedingt künstlich disjunkt machen und definiert

 

Man kann eine solche Situation durch die Substitution   mit

 

herbeiführen.

Stetige AbbildungenBearbeiten

Definition. Stetige Abbildung.

Sind   und   zwei topologische Räume, so bezeichnet man   als stetig, wenn gilt:

 


Definition. Homöomorphismus.

Ist   eine stetige Bijektion und auch   stetig, so nennt man   einen Homöomorphismus. Die Äquivalenzrelation

  es gibt einen Homöomorphismus zwischen   und  

heißt Homöomorphie.

BasisBearbeiten

Definition. Topologische Basis.

Sei   ein topologischer Raum. Eine Menge   heißt Basis, wenn gilt:

 

In Worten: Jede offene Menge ist eine Vereinigung von Mengen aus der Basis.

Metrische RäumeBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Definition. Metrik, metrischer Raum.

Sei   eine beliebige Menge. Eine Funktion   heißt Metrik, wenn folgende Axiome für alle   erfüllt sind:

(M1) Identität ununterscheidbarer Elemente:

 

(M2) Symmetrie:

 

(M3) Dreiecksungleichung:

 

Man nennt   einen metrischen Raum.

EigenschaftenBearbeiten

Die Metrik ist nicht-negativ:

 

In jedem metrischen Raum gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung

 

Definition. r-Umgebung.

Für jeden Punkt   und jeden Radius   sei

 

die (offene)  -Umgebung und

 

die abgeschlossene  -Umgebung von  .

Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.