Formelsammlung Mathematik: Topologie: Grundbegriffe

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Topologischer Raum

Definition. Topologie, topologischer Raum, offene Menge, abgeschlossene Menge.

Eine Teilmenge $T$ der Potenzmenge von $X$ heißt Topologie, wenn folgende drei Axiome erfüllt sind:

1. $\{\}\in T$ und $X\in T$,
2. $A,B\in T\implies A\cap B\in T$,
3. $\forall i{\in }I\,[A_{i}\in T]\implies \bigcup _{i\in I}A_{i}\in T$.

Das Paar $(X,T)$ heißt topologischer Raum.

Ein Element von $T$ heißt offene Menge.

Eine Menge $A\subseteq X$ heißt abgeschlossen, wenn $X\setminus A$ offen ist.

Umgebungen

Definition. Offene Umgebung, Umgebung, Umgebungsfilter.

Ist $x\in O$ und $O$ eine offene Menge, so wird $O$ als offene Umgebung von $x$ bezeichnet.

Umgebungsfilter:

${\mathcal {U}}(x):=\{U\subseteq X\mid \exists O{\in }T\,[x\in O\land O\subseteq U]\}.$

Ein Element von ${\mathcal {U}}(x)$ wird Umgebung von $x$ genannt.

Definition. Offener Kern, innerer Punkt.

Offener Kern:

$\operatorname {int} (M):=\{x\in M\mid M\in {\mathfrak {U}}(x)\}.$

Ein Element von $\operatorname {int} (M)$ wird innerer Punkt von $M$ genannt.

Definition. Äußeres, äußerer Punkt.

Äußeres:

$\operatorname {ext} (M):=\operatorname {int} (X\setminus M).$

Ein Element von $\operatorname {ext} (M)$ heißt äußerer Punkt von $M$.

Definition. Abschluss.

Abgeschlossene Hülle, kurz Abschluss:

${\overline {M}}:=X\setminus \operatorname {ext} (M).$

Definition. Rand. Randpunkt.

Rand:

$\partial (M):=X\setminus (\operatorname {int} (M)\cup \operatorname {ext} (M)).$

Ein Element von $\partial (M)$ heißt Randpunkt von $M$.

Es gilt die disjunkte Zerlegung:

$X=\operatorname {int} (M)\cup \partial (M)\cup \operatorname {ext} (M).$

Konstruktionen

Topologische Summe

Seien $(X_{i},T_{i})$ topologische Räume. Sei

$X:=\bigsqcup _{i\in I}X_{i}:=\bigcup _{i\in I}\,\{(i,x)\mid x\in X_{i}\}.$

Sei in Analogie zur Inklusionsabbdildung

$\iota _{i}(x):=(i,x),\;\iota _{i}\colon X_{i}\to X.$

Definition. Topologische Summe.

Die topologische Summe ist der topologische Raum $(X,T)$ mit der Topologie

$T=\{U\subseteq X\mid \forall i{\in }I\,[\iota _{i}^{-1}(U)\in T_{i}]\},$

bzw.

$T=\{\bigsqcup _{i\in I}A_{i}\mid \forall i{\in }I\,[A_{i}\in T_{i}]\}.$

Beachte:

$\iota _{k}^{-1}(\bigsqcup _{i\in I}A_{i})=A_{k}.$

Bemerkung.

Sind die $X_{i}$ schon disjunkt, so braucht man sie nicht unbedingt künstlich disjunkt machen und definiert

$T=\{U\subseteq \bigcup _{i\in I}X_{i}\mid \forall i{\in }I\,[X_{i}\cap U\in T_{i}]\}.$

Man kann eine solche Situation durch die Substitution $X_{i}:=X_{i}'$ mit

$X_{i}':=\iota _{i}(X_{i})=\{i\}\times X_{i}$

herbeiführen.

Stetige Abbildungen

Definition. Stetige Abbildung.

Sind $(X,T)$ und $(X',T')$ zwei topologische Räume, so bezeichnet man $f\colon X\to X'$ als stetig, wenn gilt:

$\forall U\in T'\,[f^{-1}(U)\in T].$

Definition. Homöomorphismus.

Ist $f$ eine stetige Bijektion und auch $f^{-1}$ stetig, so nennt man $f$ einen Homöomorphismus. Die Äquivalenzrelation

$X\simeq Y\;:\Longleftrightarrow \;$ es gibt einen Homöomorphismus zwischen $X$ und $Y$

heißt Homöomorphie.

Basis

Definition. Topologische Basis.

Sei $(X,T)$ ein topologischer Raum. Eine Menge $B\subseteq T$ heißt Basis, wenn gilt:

$\forall O\in T\colon \;O=\bigcup _{M\in B}M.$

In Worten: Jede offene Menge ist eine Vereinigung von Mengen aus der Basis.

Metrische Räume

Definition

Definition. Metrik, metrischer Raum.

Sei $X$ eine beliebige Menge. Eine Funktion $d\colon X\times X\to \mathbb {R}$ heißt Metrik, wenn folgende Axiome für alle $x,y,z$ erfüllt sind:

(M1) Identität ununterscheidbarer Elemente:

$d(x,y)=0\iff x=y.$

(M2) Symmetrie:

$d(x,y)=d(y,x).$

(M3) Dreiecksungleichung:

$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y).$

Man nennt $(X,d)$ einen metrischen Raum.

Eigenschaften

Die Metrik ist nicht-negativ:

$d(x,y)\geq 0.$

In jedem metrischen Raum gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung

$|d(x,z)-d(z,y)|\leq d(x,y).$

Definition. r-Umgebung.

Für jeden Punkt $x\in X$ und jeden Radius $r>0$ sei

$U_{r}(x):=\{y\in X\mid d(x,y)<r\}$

die (offene) $r$-Umgebung und

$U_{r}[x]:=\{y\in X\mid d(x,y)\leq r\}$

die abgeschlossene $r$-Umgebung von $x$.

Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.