Formelsammlung Mathematik: Riemannsche Geometrie

Formelsammlung Mathematik

EinbettungBearbeiten

Betrachte eine n-dimensionale riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit  , eingebettet in den  .

Sei   eine lokale Karte

 

Sei   die kanonische Basis des  .

Basis von   Duale Basis

 
wobei  

 

Paarung und Skalarprodukte der Basisvektoren

 

 

 

Jacobi-Matrix:

 

Induzierter metrischer Tensor:

 
 
 

Kovariante AbleitungBearbeiten

Vektorfeld Kovektorfeld
   
   
   
   
 
   
 
 

Christoffel-SymboleBearbeiten

Christoffelsymbole bezüglich einer lokalen Karte:

 

Christoffelsymbole in Abhängigkeit des metrischen oder pseudo-metrischen Tensors:

 
 
 
 

Musikalische IsomorphismenBearbeiten

Definition. Musikalische Isomorphismen.

Sei (Mg) eine riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit. Sei

 

für jeden Punkt p ∈ M.

Für Vektorfelder   ergibt sich

 

Unter den musikalischen Isomorphismen versteht man nun   und  .

Für eine Koordinatendarstellung wird eine Basis von   jeweils für jeden Punkt p benötigt. Sei dazu   ein lokaler Rahmen und   der dazu gehörige Korahmen. Die Metrik g wird als metrischer Tensor bezüglich des Korahmens dargestellt:

 

kurz

 

Eine äquivalente Definition ist nun

 

und

 

wobei die Gleichungen punktweise für Punkte p ∈ M gelten.

Definition. Musikalische Isomorphismen für äußere Produkte.

Bei einem Multivektor ist zu beachten, dass es mehrere Indizes gibt, die jeweils gesenkt bzw. gehoben werden können. Der kanonische Isomorphismus kann als Senken aller Indizes verstanden werden. Das ist die lineare Abbildung

 

Man schreibt wieder   und  

Eigenschaften

Bei   handelt es sich für jeden Punkt p um eine bijektive lineare Abbildung. Es gilt also:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Außerdem gilt:

  1.  
  2.