Formelsammlung Mathematik: Reihen
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Reihen Bearbeiten
Definition. Partialsumme, Reihe, Summe.
Ist eine Folge, so wird die Folge von Partialsummen
als Reihe bezeichnet. Der Grenzwert
wird Wert oder Summe der Reihe genannt.
Zwei Reihen und können Gliedweise verglichen werden:
oder es werden nur die Summen der Reihen verglichen:
Teleskopsumme Bearbeiten
Jede Reihe ist eine Folge. Umgekehrt lässt sich aber auch jede beliebige Folge durch
als Reihe
darstellen. Die Summe auf der rechten Seite wird als Teleskopsumme bezeichnet.
Rechnen mit Reihen Bearbeiten
Summen und Vielfache Bearbeiten
Sind die Reihen und konvergent mit und , so gilt:
Cauchy-Produkt Bearbeiten
Sei
Definition. Cauchy-Produkt.
Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen und ist definiert durch
- mit .
Das Cauchy-Produkt von zwei reellen oder komplexen absolut konvergenten Reihen ist absolut konvergent und es gilt
- .
Satz von Mertens. Das Cauchy-Produkt von reellen oder komplexen konvergenten Reihen, eine davon absolut konvergent, ist konvergent und es gilt
- .
Arten von Konvergenz Bearbeiten
Absolute Konvergenz Bearbeiten
Sei ein normierter Raum.
Definition. Absolute Konvergenz.
Eine Reihe mit heißt absolut konvergent, wenn
ist.
Es gilt: ist genau dann ein Banachraum, wenn jede absolut konvergente Reihe auch konvergent ist.
Unbedingte Konvergenz Bearbeiten
Definition. Unbedingte Konvergenz.
Eine konvergente Reihe mit , für welche die Gleichung
für alle Permutationen gilt, heißt unbedingt konvergent gegen .
Ist ein Banachraum und eine absolut konvergente Reihe von Punkten , so ist auch unbedingt konvergent.
Konvergenzkriterien Bearbeiten
Quotientenkriterium Bearbeiten
Gegeben ist eine Reihe , wobei die reelle oder komplexe Zahlen sind und ab einem gewissen ist.
Existiert der Grenzwert
so gilt:
- ist absolut konvergent,
- ist divergent,
- keine Aussage.