Formelsammlung Mathematik: Reihen

Formelsammlung Mathematik
Liste von unendlichen Reihen

ReihenBearbeiten

Definition. Partialsumme, Reihe, Summe.

Ist   eine Folge, so wird die Folge   von Partialsummen

 

als Reihe bezeichnet. Der Grenzwert

 

wird Wert oder Summe der Reihe genannt.

Zwei Reihen   und   können Gliedweise verglichen werden:

 

oder es werden nur die Summen der Reihen verglichen:

 

TeleskopsummeBearbeiten

Jede Reihe ist eine Folge. Umgekehrt lässt sich aber auch jede beliebige Folge   durch

 

als Reihe

 

darstellen. Die Summe auf der rechten Seite wird als Teleskopsumme bezeichnet.

Rechnen mit ReihenBearbeiten

Summen und VielfacheBearbeiten

Sind die Reihen   und   konvergent mit   und  , so gilt:

 
 
 

Cauchy-ProduktBearbeiten

Sei

 
 
 

Definition. Cauchy-Produkt.

Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen   und   ist definiert durch

  mit  .

Das Cauchy-Produkt von zwei reellen oder komplexen absolut konvergenten Reihen ist absolut konvergent und es gilt

 .

Satz von Mertens. Das Cauchy-Produkt von reellen oder komplexen konvergenten Reihen, eine davon absolut konvergent, ist konvergent und es gilt

 .

Arten von KonvergenzBearbeiten

Absolute KonvergenzBearbeiten

Sei   ein normierter Raum.

Definition. Absolute Konvergenz.

Eine Reihe   mit   heißt absolut konvergent, wenn

 

ist.

Es gilt:   ist genau dann ein Banachraum, wenn jede absolut konvergente Reihe auch konvergent ist.

Unbedingte KonvergenzBearbeiten

Definition. Unbedingte Konvergenz.

Eine konvergente Reihe   mit  , für welche die Gleichung

 

für alle Permutationen   gilt, heißt unbedingt konvergent gegen  .

Ist   ein Banachraum und   eine absolut konvergente Reihe von Punkten  , so ist   auch unbedingt konvergent.

KonvergenzkriterienBearbeiten

QuotientenkriteriumBearbeiten

Gegeben ist eine Reihe  , wobei die   reelle oder komplexe Zahlen sind und   ab einem gewissen   ist.

Existiert der Grenzwert

 

so gilt:

 ist absolut konvergent,
 ist divergent,
  keine Aussage.