Formelsammlung Mathematik: Quadratische Funktionen

Formelsammlung Mathematik

Allgemeine quadratische FunktionenBearbeiten

StandardformBearbeiten

Definition. Eine Funktion der Form

 

mit   heißt quadratische Funktion.

ScheitelpunktformBearbeiten

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist

 

wobei es sich bei   um den Scheitelpunkt handelt.

Die Scheitelpunktform kann durch Ausmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich in die Standardform umgeformt werden. Es ergibt sich:

 
 

Umgekehrt ist:

 
 

Bei   handelt es sich um den arithmetischen Mittelwert der beiden Nullstellen:

 

SchnittpunkteBearbeiten

Parabel und GeradeBearbeiten

Gegeben ist

 
 

mit  .

Aufgabe: Bestimme

 

Lösung: Äquivalenzumformung führt auf die quadratische Gleichung

 

Berechnet wird die Diskriminante:

 
D>0 D=0 D<0
Die Gerade ist eine Sekante der Parabel, d. h. sie schneidet die Parabel in zwei Punkten. Die Stellen sind:
 
 
Die Gerade ist eine Tangente der Parabel, d. h. sie berührt die Parabel an einem Punkt. Die Stelle ist:
 
Die Gerade ist eine Passante der Parabel, d. h. es gibt keine gemeinsame Schnittmenge.

InterpolationBearbeiten

Ungestauchte Parabel durch zwei PunkteBearbeiten

Aufgabe: Der Graph der Funktion   soll durch die Punkte   und   verlaufen.

Ansatz: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für  :

 

Die Lösungen sind:

 

Parabel durch drei PunkteBearbeiten

Aufgabe: Der Graph der Funktion   soll durch die Punkte   und   verlaufen.

Ansatz: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für  :

 

Alternative Lösung: Berechnet wird zunächst

 

mit

 

und

 

Ausmultiplizieren und ein Koeffizientenvergleich bringt die Lösung. Es ergibt sich: