Formelsammlung Mathematik: Numerische Integration

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Newton-Cotes-Formeln

Rechteck-Regel

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx h\sum _{k=0}^{n-1}y_{k}$

mit $h={\frac {b-1}{n}}$ und $y_{k}=f(a+kh)$.

Mittelpunkt-Regel

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).$

Trapez-Regel

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.$

Simpson-Regel

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].$

Simpsons 3/8-Regel

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx {\frac {3h}{8}}(y_{0}+3y_{1}+3y_{2}+y_{3})$

mit $h={\frac {b-a}{3}}$ und $y_{k}=f(a+kh)$.

Boole-Regel

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{90}}(7y_{0}+32y_{1}+12y_{2}+32y_{3}+7y_{4})$

mit $h={\frac {b-a}{4}}$ und $y_{k}=f(a+kh)$.

Summierte Simpson-Regel

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}y_{0}+4{\bigg (}\sum _{k=1}^{n/2}y_{2k-1}{\bigg )}+2{\bigg (}\sum _{k=1}^{n/2-1}y_{2k}{\bigg )}+y_{n}{\bigg ]}$

mit $h={\frac {b-a}{n}}$ und $y_{k}=f(a+kh)$.

Weddle-Regel

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{840}}(41y_{0}+216y_{1}+27y_{2}+272y_{3}+27y_{4}+216y_{5}+41y_{6})$

mit $h={\frac {b-a}{6}}$ und $y_{k}=f(a+kh)$.