Formelsammlung Mathematik: Multilineare Algebra

Formelsammlung Mathematik

Raum ohne SkalarproduktBearbeiten

TensorenBearbeiten

Rechenregeln:

  • Das Tensorprodukt ist bilinear.
  • Assoziativgesetz:  .

Tensorprodukt zweier Vektoren:

 

Alle Rechenregeln gelten analog für Kovektoren:

 

Applikation eines Tensors vom Typ (0,2) auf zwei Vektoren:

 

Applikation eines Tensors vom Typ (0,p) auf p Vektoren:

 

Applikation eines antisymmetrischen Tensors vom Typ (0,2) auf auf zwei Vektoren:

 

Applikation eines antisymmetrischen Tensors vom Typ (0,p) auf p Vektoren:

 

Äußere AlgebraBearbeiten

Äußeres Produkt, Rechenregeln:

  • Das äußere Produkt ist bilinear.
  • Assoziativgesetz:  .
  • Antikommutativität:   für Vektoren   des zugrundeliegenden Vektorraumes.
  • Wenn   ein Skalar ist, dann gilt  .

Seien   alternierende Tensoren, sei   und  . Es gilt:

 

Sei   ein endlich-dimensionaler Vektorraum und   eine Basis von  .

Für zwei Vektoren   und   gilt:

 
 

Sei   ein alternierender Tensor. Wegen   gilt:

 

Sei   ein alternierender Tensor. Wegen   gilt:

 

Alle Rechenregeln gelten auch für Kovektoren (dargestellt als Linearkombinationen bezüglich der Dualbasis) bzw. Tensoren vom Typ (0,p) anstelle des Typs (p,0).

Applikation eines alternierenden Tensors   auf zwei Vektoren:

 

AlternatorBearbeiten

Sind   Tensoren vom Typ (1,0) oder (0,1), so gilt:

 
 

Ist   für jedes   ein Tensor erster Stufe, so gilt:

 
 

Seien   Tensoren der Stufe  . Sei   ein Skalar. Es gilt:

 
 

Seien   alternierende Tensoren, sei   und  . Es gilt:

 

Seien   ein alternierender Tensor, sei  . Es gilt:

 

Wenn   ein alternierender Tensor vom Grad   ist, dann ist  .

Raum mit SkalarproduktBearbeiten

Metrischer TensorBearbeiten

   
   

  mit

 

 

 


Ein Vektor   kann als Linearkombination aus der Basis   oder der Dualbasis   dargestellt werden:

 
   
   


Tensor zweiter Stufe:

  •  
  •  


Tensor beliebiger Stufe:

  •  
  •  
  •