Formelsammlung Mathematik: Maxima

Formelsammlung Mathematik

GrundlagenBearbeiten

Eingabe/AusgabeBearbeiten

Eingaben werden mit einem Semikolon abgeschlossen, da sich Anweisungen in Maxima über mehrere Zeilen erstrecken können. Durch Verwendung eines Dollarzeichens anstelle eines Semikolons ist eine Unterdrückung der Ausgabe möglich. Das grafische Benutzerinterface benötigt zum Abschluss einer Eingabe stattdessen STRG+ENTER.

Das System versucht Ausgaben möglichst hübsch darzustellen. Ausschalten der booleschen Variable display2d führt zu einer Ausgabeform die wieder für Eingaben verwendet werden kann.

(Eingabe) 1/(a^2+b);
             1
(Ausgabe)  ------
                2
           b + a
(Eingabe) display2d: false$
(Eingabe) 1/(a^2+b);
(Ausgabe) 1/(a^2+b)

Die Funktion tex(A) wandelt einen Ausdruck   in Quelltext für das Textsatzsystem TeX um.

Anweisungen an das CAS müssen nicht immer wieder neu eingegeben werden. Stehen die Anweisungen in Dateien, so können sie mit load("Dateiname") (ohne Ausgaben) oder batch("Dateiname") (mit Ausgaben) ausgeführt werden. Ausgaben lassen sich durch print(x) erzwingen. Die Datei muss sich im Arbeitsverzeichnis der aktuellen Sitzung befinden.

=== Datei m.mac ===
Werte(f,a) := makelist([x,f(x)],x,a);
g1(x) := 2*x+4;
g2(x) := 4*x-5;
=== Ende ==========

(Eingabe) load("m.mac");
(Eingabe) Werte(g1,[0,1,2,3]);
(Ausgabe) [[0, 4], [1, 6], [2, 8], [3, 10]]

VariablenBearbeiten

Eingabe Bedeutung
v: A; Der Variablen   wird der Ausdruck   zugewiesen.

Funktionen definierenBearbeiten

Eine Funktionsdefinition hat die Form f(x):=Ausdruck(x);.

Eine Funktion in zwei Variablen wird in der Form f(x,y):=Ausdruck(x,y) definiert. Ist alternativ   ein Koordinatentupel, so kann eine Funktion in zwei Variablen in der Form f(x):=Term(x[1],x[2]) definiert werden. Der Aufruf erfolgt dann folglich nicht in der Form f(a,b), sondern in der Form f([a,b]).

HilfsvariablenBearbeiten

Die Funktionsdefinition   lässt sich unter Verwendung einer Hilfsvariablen   abkürzen zu  . Eine solche Abkürzung ist auch in Maxima möglich:

f(x,y) := block([r], r: sqrt(x^2+y^2), sin(r)/r);

Solche Variablen sind nur lokal, d. h. sie sind nur innerhalb des Blocks definiert. Die allgemeine Form ist:

block([v1,...,vn], Ausdruck1, Ausdruck2, ..., AusdruckN)

Substitution von VariablenBearbeiten

Der Befehl T1, x=T2 substituiert jedes Auftreten der Variable x im Term T1 durch den Term T2.

(Eingabe) T: x^2+2*x+4;
(Eingabe) T, x=6;
(Ausgabe) 52

Der Befehl ev(T1,x=T2) (Abkürzung für evaluate) bewirkt das selbe, lässt sich aber flexibler verwenden.

(Eingabe) T: x^2+2*x+4;
(Eingabe) 2*ev(T,x=6);
(Ausgabe) 104

Ein Beispiel mit zwei Variablen:

(Eingabe) x^2+y^2, x=3, y=4;
(Ausgabe) 25

(Eingabe) ev(x^2+y^2,x=3,y=4);
(Ausgabe) 25

(Eingabe) ev(x^2+y^2,[x=3,y=4]);
(Ausgabe) 25

Numerische AuswertungBearbeiten

Die numerische Auswertung eines symbolischen Ausdrucks   erfolgt mit float(A). Die Auswertung ist auf 16 Dezimalstellen begrenzt, da Fließkommazahlen doppelter Genauigkeit verwendet werden. Sind mehr Stellen gewünscht, so erfolgt die Auswertung mit bfloat(A) (big float). Die Anzahl der Stellen lässt sich nun durch Änderung der Variablen fpprec (floating point number precision) erhöhen.

(Eingabe) float(%pi);
(Ausgabe) 3.141592653589793
(Eingabe) fpprec: 40;
(Eingabe) bfloat(%pi);
(Ausgabe) 3.141592653589793238462643383279502884197b0

Funktionen plottenBearbeiten

plot2d(f(x), [x,-10,10], [y,-10,10]);
plot2d([parametric,x(t),y(t)], [t,-10,10]);

plot3d(f(x,y), [x,-10,10], [y,-10,10]);
contour_plot (f(x,y), [x,-10,10], [y,-10,10])$
plot3d([x(u,v),y(u,v),z(u,v)], [u,-10,10], [v,-10,10]]

load(implicit_plot);
implicit_plot(f(x,y)=0, [x,-10,10], [y,-10,10]);

Beispiele:

plot2d(sin(x), [x,-10,10], [y,-2,2]);

f(x,y) := block([r], r: sqrt(x^2+y^2), sin(r)/r);
plot3d(f(x,y), [x,-10,10], [y,-10,10]);

s(t) := (sin(5*t)+4)*[cos(t),sin(t)];
plot2d(cons(parametric,s(t)), [t,0,2*%pi], [yx_ratio,1]);

ComputeralgebraBearbeiten

GleichungenBearbeiten

Der Befehl solve(T1=T2,x) versucht, die Gleichung T1=T2 nach der Variablen x zu lösen.

(Eingabe) solve(a*x^2+b*x=0,x);
(Ausgabe) [x = -b/a, x = 0]

Der Befehl allroots(T1=T2) bestimmt die Lösungen einer Polynomgleichung numerisch.

(Eingabe) allroots(2*x^2+4*x=0,x);
(Ausgabe) [x = 0.0, x = -2.0]

Lösung eines linearen Gleichungssystems:

(Eingabe) s: [2*x+3*y=2, 4*x+5*y=3];
(Eingabe) solve(s,[x,y]);
(Ausgabe) [[x = -1/2, y = 1]]

Komplexe ZahlenBearbeiten

Die mathematischen Konstanten   lauten in Maxima %e, %pi, %i. Zur Umrechnung in die Polarform dient die Funktion polarform(z), zur Umrechnung in die kartesische Form die Funktion rectform(z).

(Eingabe) polarform(2+4*%i);
(Ausgabe) 2*sqrt(5)*%e^(%i*atan(2))

(Eingabe) rectform(6*%e^(2*%i));
(Ausgabe) 6*%i*sin(2) + 6*cos(2)
Formel Eingabe Bedeutung
  a+b*%i kartesische Form
  r*%e^(%i*phi) Polarform
  cabs(z), abs(z) Absolutbetrag
  carg(z) Phasenwinkel
  realpart(z) Realteil
  imagpart(z) Imaginärteil
  conjugate(z) Konjugation

Ausdrücke expandierenBearbeiten

Ein Ausdruck   kann durch expand(A) expandiert (z. B. ausmultipliziert) werden.

(Eingabe) expand((a+b)^2);
(Ausgabe) b^2 + 2*a*b + a^2

Für Ausdrücke mit Winkelfunktionen wird trigexpand verwendet.

(Eingabe) trigexpand(sin(x+y));
(Ausgabe) cos(x)*sin(y) + sin(x)*cos(y)

Ausdrücke faktorisierenBearbeiten

Primfaktorzerlegung:

(Eingabe) factor(360);
(Ausgabe) 3^2 * 2^3 * 5

Faktorisierung von Termen:

(Eingabe) factor(2*x^2+x*y-y^2);
(Ausgabe) -(y-2*x)*(x+y)

GrenzwerteBearbeiten

Formel Eingabe
  limit(a(n),n,inf)
  limit(f(x),x,x0)
(Eingabe) limit((4*n+8)/(2*n-1),n,inf);
(Ausgabe) 2

(Eingabe) limit(sin(x)/x,x,0);
(Ausgabe) 1

Summen und ReihenBearbeiten

Formel Eingabe
  sum(a(k),k,m,n)
  sum(a(k),k,m,inf)
  lsum(a(k),k,L)

Das System kann manche Summen vereinfachen, wenn simpsum nachgestellt wird.

(Eingabe) sum(k,k,1,n), simpsum;
(Ausgabe) (n+n^2)/2

(Eingabe) sum(q^k,k,m,n-1), simpsum;
(Ausgabe) (q^n-q^m)/(q-1)

(Eingabe) sum(1/k^2,k,1,inf), simpsum;
(Ausgabe) %pi^2/6

DifferentialrechnungBearbeiten

Formel Eingabe Bedeutung
  diff(f(x),x) Ableitung
  diff(f(x),x,n)  -te Ableitung
  diff(f(x,y),x) partielle Ableitung
(Eingabe) diff(x^2,x);
(Ausgabe) 2*x

IntegralrechnungBearbeiten

Formel Eingabe Bedeutung
  integrate(f(x),x,a,b) bestimmtes Integral
  integrate(f(x),x) unbestimmtes Integral
  integrate(f(x),x,minf,inf) uneigentliches Integral
(Eingabe) integrate(2*x+4,x);
(Ausgabe) x^2+4*x

PolynomdivisionBearbeiten

Der Befehl divide(Zähler,Nenner,x) führt eine Polynomdivision bezüglich der Variablen x aus und gibt das Paar [Quotient, Rest] zurück.

Beispiel:

 
(Eingabe) divide(x^3+x^2-10*x+8,x-2,x);
(Ausgabe) [x^2+3*x-4, 0]

Beispiel mit Rest:

 
(Eingabe) divide(x,x-1,x);
(Ausgabe) [1, 1]

PartialbruchzerlegungBearbeiten

Der Befehl partfrac(Term,x) führt eine Partialbruchzerlegung von Term nach der Variable x aus.

Voraussetzung: Das Nenner-Polynom besitzt rationale Nullstellen.

Der Befehl ratsimp(Term) macht die Partialbruchzerlegung wieder rückgängig.

1. Beispiel:

 
(Eingabe) partfrac(x/(x-1),x);
(Ausgabe) 1/(x-1) + 1

2. Beispiel:

 
(Eingabe) partfrac(x/(x^2-1),x);
(Ausgabe) 1/(2*(x+1)) + 1/(2*(x-1))

Beispiel mit komplexen Polstellen:

 
(Eingabe) partfrac((5*x^2+2*x+1)/(x^3+x),x);
(Ausgabe) (2+4*x)/(x^2+1) + 1/x

Auch die komplexe Partialbruchzerlegung ist möglich:

 
(Eingabe) partfrac((5*x^2+2*x+1)/gfactor(x^3+x),x);
(Ausgabe) -(-20-10*%i)/(10*(x+%i)) - (10*%i-20)/(10*(x-%i)) + 1/x

Der Befehl gfactor(Polynom) faktorisiert ein Polynom jedoch nur dann in Linearfaktoren, wenn Real- und Imaginärteil der Nullstellen rationale Zahlen sind.

Lineare AlgebraBearbeiten

VektorenBearbeiten

Vektoren erzeugen:

Formel Eingabe Beschreibung
(v1v2) [v1,v2] Eine Liste lässt sich als Vektor verwenden.
(v1v2) matrix([v1,v2]) Ein Zeilenvektor.
  matrix([v1],[v2]) Ein Spaltenvektor.
ek ematrix(1,n,1,1,k) Basisvektor ek aus dem Rn als Zeilenvektor.
ek ematrix(n,1,1,k,1) Basisvektor ek aus dem Rn als Spaltenvektor.

Operationen:

Formel Eingabe Beschreibung
vk v[k] Komponente mit dem Index k.
vk,1 v[k,1] Indizierung bei einem Spaltenvektor.
v1,k v[1,k] Indizierung bei einem Zeilenvektor.
v+w v+w Addition.
r v r*v Skalarmultiplikation.
vw v.w Reelles Standardskalarprodukt.
|v| sqrt(v.v) Vektorbetrag.

MatrizenBearbeiten

Matrizen erzeugen:

Formel Eingabe Beschreibung
  matrix([a11,a12],[a21,a22]) Eine Matrix.
En ident(n) Die n×n-Einheitsmatrix.
rEn diagmatrix(n,r) Skalarmatrix.
0 zeromatrix(m,n) Die m×n-Nullmatrix.
(A, v) addcol(A,v) Hängt den Vektor v als Spalte an die Matrix A an.
(AT, v)T addrow(A,v) Hängt den Vektor v als Zeile an die Matrix A an.

Operationen:

Formel Eingabe Beschreibung
Aij A[i,j] Eintrag für das Indexpaar (ij).
AT transpose(A) Transponierte von A.
AB A.B Matrizenmultiplikation.
adj(A) adjoint(A) Klassische Adjungierte von A.
det(A) determinant(A) Determinante von A.
A−1 invert(A) Inverse Matrix zu A.
An A^^n Potenzierte Matrix.
PA(λ) charpoly(A,lambda) Charakteristisches Polynom von A.
σ(A), (μk) eigenvalues(A) Eigenwerte von A. Zweite Liste: algebraische Vielfachheiten.
(vk) eigenvectors(A) Erste Liste: eigenvalues(A). Zweite Liste: Eigenbasis.

ProgrammierungBearbeiten

ListenBearbeiten

Die Funktion makelist(f(k),k,a,b) erzeugt die Liste [f(a), f(a+1), ..., f(b)].

(Eingabe) makelist(k,k,1,4)
(Ausgabe) [1, 2, 3, 4]

(Eingabe) makelist(k^2*x,k,1,4)
(Ausgabe) [x, 4*x, 9*x, 16*x]