Formelsammlung Mathematik: Lineare Funktionen

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Proportionale Funktionen

Die Graphen von proportionalen Funktionen sind Geraden, welche immer durch den Koordinatenursprung verlaufen. Abgebildet sind $f(x)=2x$ und ihre Umkehrfunktion $g(x)={\tfrac {1}{2}}x$, welche durch Spiegelung des Graphen an der Winkelhalbierenden (gestrichelt) entsteht. Die Funktion $h(x)=-{\tfrac {1}{4}}x$ ist ein Beispiel für eine proportionale Funktion mit negativem Anstieg.

Definition. Proportionale Funktion.

Eine Funktion der Form $f(x)=m\cdot x$ heißt proportionale Funktion. Die Zahl $m$ wird als Anstieg oder Proportionalitätsfaktor bezeichnet.

Dreisatz-Aufgabe
Gegeben ist ein Punkt $(x_{0}|y_{0})$. Einsetzen ergibt $y_{0}=f(x_{0})=mx_{0}\iff m={\frac {y_{0}}{x_{0}}}.$ Da $m$ nun bekannt ist, kann für eine weitere Stelle $x_{1}$ der Wert $y_{1}=f(x_{1})=mx_{1}$ bestimmt werden.

Affine Funktionen

Definition. Affine Funktion.

Eine Funktion der Form $f(x)=m\cdot x+n$ heißt affine Funktion. Man bezeichnet $m$ als Anstieg und $n$ als Ordinatenabschnitt.

Im Fall $m\neq 0$ handelt es sich um eine Polynomfunktion ersten Grades.

Der Graph einer affinen Funktion ist eine Gerade.

Interpolation

Gerade durch zwei Punkte

Aufgabe. Bestimmt werden soll die affine Funktion, deren Graph durch die beiden unterschiedlichen Punkte $P_{1}=(x_{1}|y_{1})$ und $P_{2}=(x_{2}|y_{2})$ verläuft.

Ansatz: Für $f(x)=mx+n$ lässt sich $n$ durch den Ansatz

$y_{2}-y_{1}=f(x_{2})-f(x_{1})=mx_{2}-mx_{1}$

eliminieren. Die Gleichung wird nach $m$ umgeformt.

Lösung: Anstieg:

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

Ordinatenabschnitt:

$n=y_{1}-mx_{1}.$

Die Lösung kann auch direkt angegeben werden:

$f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})+y_{1}.$

Gerade mit Anstieg verläuft durch einen Punkt

Aufgabe. Bestimmt werden soll die affine Funktion mit Anstieg $m$, deren Graph durch den Punkt $P=(x_{1}|y_{1})$ geht.

Lösung: Es ergibt sich die Funktion:

$f(x)=m\cdot (x-x_{1})+y_{1}=mx+(y_{1}-mx_{1}).$