Formelsammlung Mathematik: Kurven

Formelsammlung Mathematik

ParameterkurvenBearbeiten

Sei   ein topologischer Raum und   ein reelles Intervall, geschlossen, offen oder halboffen, auch unbeschränkt.

Definition. Parameterkurve, Spur.

Eine stetige Funktion   heißt Parameterkurve. Die Bildmenge von   heißt Spur.

Definition. Weg, geschlossener Weg, einfacher Weg.

Eine Parameterkurve   mit einem kompakten Intervall   heißt Weg.

Man nennt   den Anfangspunkt und   den Endpunkt. Ist  , so spricht man von einem geschlossenen Weg.

Ein Weg, dessen Einschränkung auf   injektiv ist, heißt einfach, auch doppelpunktfrei oder Jordan-Weg.

Beispiele
Parameterkurve Eigenschaften Spur
  Ein einfacher geschlossener Weg. Der Einheitskreis.
  Ein geschlossener Weg mit Doppelpunkt. Die Lemniskate von Gerono.

Anstelle von   ist auch die Bezeichnung   üblich.

Differenzierbare ParameterkurvenBearbeiten

Definition. Differenzierbare Parameterkurve, Tangentialvektor.

Die Parameterkurve   heißt differenzierbar an der Stelle  , wenn der Grenzwert

 

existiert. Dieser Grenzwert wird als Tangentialvektor bezeichnet.

Eine Parameterkurve   ist stetig differenzierbar, wenn die Ableitungsfunktion   stetig (also wieder eine Parameterkurve) ist. Die Klasse   besteht aus allen stetig differenzierbaren Parameterkurven, die Klasse   aus allen zweimal stetig differenzierbaren usw. und   besteht aus glatten, d. h. unendlich oft differenzierbaren Parameterkurven.

Eine Parameterkurve ist genau dann differenzierbar, wenn sie komponentenweise differenzierbar ist und für

 

gilt

 

Definition. Reguläre Parameterkurve.

Eine differenzierbare Parameterkurve heißt regulär an der Stelle t, wenn   gilt. Die Parameterkurve heißt regulär, wenn sie an jeder Stelle regulär ist.

Eine hinreichend oft differenzierbare Parameterkurve heißt regulär an der Stelle t von der Ordnung m, wenn

 

linear unabhängig ist.

Interpretiert man eine Parameterkurve   als eine Bewegung eines Massepunktes mit der Zeit  , so handelt es sich beim Tangentialvektor um den Geschwindigkeitsvektor.

Definition. Parametertransformation, Umparametrisierung.

Seien   und   zwei  -Parameterkurven. Ein  -Diffeomorphismus   heißt Parametertransformation. Gilt  , so spricht man von einer Umparametrisierung. Man definiert eine Äquivalenzrelation: Zwei Parameterkurven sind äquivalent, wenn es eine Umparametrisierung gibt, welche die eine in die andere überführt.

Gilt   für ein   und somit für alle  , so heißt   orientierungserhaltend. Im Fall   nennt man   orientierungsumkehrend.

Alle Repräsentanten einer Äquivalenzklasse besitzen die selbe Spur.

BogenlängeBearbeiten

Definition. Rektifizierbarer Weg, Bogenlänge.

Sei   ein metrischer Raum und sei   ein Weg. Man nennt   rektifizierbar, wenn

 

endlich ist. Die Zahl   heißt Länge des Weges.

Sei   ein Weg. Ist c stückweise stetig differenzierbar, dann ist c auch rektifizierbar und für die Länge gilt