Formelsammlung Mathematik: Kettenbrüche

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Reguläre KettenbrücheBearbeiten


Ein regulärer Kettenbruch hat die Form

 ,

wobei   ist und   sind. Man kürzt ihn mit   ab.

Negativer WertBearbeiten


 


KehrwertBearbeiten


 


Goldener SchnittBearbeiten


 


Eulersche ZahlBearbeiten


 



 



 



 



 


 


 


(Ko)tangens (Hyperbolicus)Bearbeiten


 


 


 


 


 


 


 


QuadratwurzelnBearbeiten


 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ist   kein Quadrat, so lässt sich   schreiben in der Form  


Familien von KettenbrüchenBearbeiten


Zum Beispiel

 
 
 
 
 

Eine ausführlichere Einteilung stellen die Bernstein Familien und die Levesque-Rhin Familien dar.

Allgemeine Aussagen über reguläre KettenbrücheBearbeiten


  • Ein regulärer Kettenbruch ist genau dann irrational, wenn er nicht abbricht.
  • Ein regulärer Kettenbruch ist genau dann periodisch, wenn er die Form   besitzt, wobei   ist und   keine Quadratzahl ist.


Satz von GaloisBearbeiten


Sind  , dann lässt sich der reinperiodische Kettenbruch   schreiben in der Form  ,
wobei   sind und   keine Quadratzahl ist.
Ist   der zu   inverse Kettenbruch, so stimmt   mit der Wurzelkonjugierten   überein.


Verallgemeinerte KettenbrücheBearbeiten


Eine mögliche Verallgemeinerung ist es Kettenbrüche der Form

 

zu betrachten, wobei   ist und wobei   und   positive ganze Zahlen sind. Genauso könnte man für   und   auch reelle oder komplexe Zahlen zulassen. Ein verallgemeinerter Kettenbruch lässt sich nach Pringsheim abkürzend mit   und nach Gauß abkürzend mit   notieren.

Formel von BombelliBearbeiten


Ist  , so gilt  


Eulersche ZahlBearbeiten


 


 


 


Kreiszahl  Bearbeiten


 


 


 


Formel von Brouncker
 


 


 


 


 


Catalansche KonstanteBearbeiten


 


ExponentialfunktionBearbeiten


 


Sinus (Hyperbolicus)Bearbeiten


 


 


Tangens (Hyperbolicus)Bearbeiten


 


 


 


 


Kotangens HyperbolicusBearbeiten


 


 


Arkussinus und Areasinus HyperbolicusBearbeiten


 


 


Arkustangens und Areatangens HyperbolicusBearbeiten


 


 


 


 


 


LogarithmusBearbeiten


 


 


 


FehlerfunktionBearbeiten


 


 


GammafunktionBearbeiten


 


BesselfunktionBearbeiten


 



Ramanujan-KettenbrücheBearbeiten