Formelsammlung Mathematik: Kettenbrüche
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Reguläre KettenbrücheBearbeiten
Ein regulärer Kettenbruch hat die Form
- ,
wobei ist und sind.
Man kürzt ihn mit ab.
Negativer WertBearbeiten
KehrwertBearbeiten
Goldener SchnittBearbeiten
Eulersche ZahlBearbeiten
Sei der Kettenbruch mit für .
Das heißt .
Für Näherungsbrüche gilt allgemein die Rekursion
mit den Startwerten .
Insbesondere für die Näherungsbrüche von gelten für die Rekursionsformeln:
Setze
Behauptung: Für alle gilt
Der Induktionsanfang lässt sich leicht nachprüfen.
Für gilt nun , woraus
folgt. Daher erfüllen die Rekursion , woraus die Behauptung folgt.
Offenbar verschwinden für , und daher ist .
Für sei der Kettenbruch mit für .
Das heißt .
Für Näherungsbrüche gilt allgemein die Rekursion
mit den Startwerten .
Insbesondere für die Näherungsbrüche von gelten für die Rekursionsformeln:
Setze
Behauptung: Für alle gilt
Der Induktionsanfang lässt sich leicht nachprüfen.
Für gilt nun , woraus
folgt. Daher erfüllen die Rekursion , woraus die Behauptung folgt.
Offenbar verschwinden für , und daher ist .
Sei der Kettenbruch mit
für .
Das heißt .
Für Näherungsbrüche gilt allgemein die Rekursion
mit den Startwerten .
Insbesondere für die Näherungsbrüche von gelten für die Rekursionsformeln:
Setze
Behauptung: Für alle gilt
Der Induktionsanfang
lässt sich leicht nachprüfen. Für gilt nun
, woraus
folgt. Daher erfüllen die Rekursion , woraus die Behauptung folgt.
Offenbar verschwinden für , und daher ist .
Für eine ungerade Zahl sei der Kettenbruch mit
für .
Das heißt
.
Für Näherungsbrüche gilt allgemein die Rekursion
mit den Startwerten .
Insbesondere für die Näherungsbrüche von gelten für die Rekursionsformeln:
Setze
Behauptung: Für alle gilt
Der Induktionsanfang
lässt sich leicht nachprüfen. Für gilt nun
, woraus
folgt. Daher erfüllen die Rekursion , woraus die Behauptung folgt.
Offenbar verschwinden für , und daher ist .
(Ko)tangens (Hyperbolicus)Bearbeiten
QuadratwurzelnBearbeiten
- Ist kein Quadrat, so lässt sich schreiben in der Form
Familien von KettenbrüchenBearbeiten
Zum Beispiel
Eine ausführlichere Einteilung stellen die Bernstein Familien und die Levesque-Rhin Familien dar.
Allgemeine Aussagen über reguläre KettenbrücheBearbeiten
- Ein regulärer Kettenbruch ist genau dann irrational, wenn er nicht abbricht.
- Ein regulärer Kettenbruch ist genau dann periodisch, wenn er die Form besitzt, wobei ist und keine Quadratzahl ist.
Satz von GaloisBearbeiten
- Sind , dann lässt sich der reinperiodische Kettenbruch schreiben in der Form ,
- wobei sind und keine Quadratzahl ist.
- Ist der zu inverse Kettenbruch, so stimmt mit der Wurzelkonjugierten überein.
Verallgemeinerte KettenbrücheBearbeiten
Eine mögliche Verallgemeinerung ist es Kettenbrüche der Form
zu betrachten, wobei ist und wobei und positive ganze Zahlen sind. Genauso könnte man für und auch reelle oder komplexe Zahlen zulassen.
Ein verallgemeinerter Kettenbruch lässt sich nach Pringsheim abkürzend mit
und nach Gauß abkürzend mit
notieren.
Formel von BombelliBearbeiten
- Ist , so gilt
Eulersche ZahlBearbeiten
Kreiszahl Bearbeiten
- Formel von Brouncker
Catalansche KonstanteBearbeiten
ExponentialfunktionBearbeiten
Sinus (Hyperbolicus)Bearbeiten
Tangens (Hyperbolicus)Bearbeiten
Zu vorgegebenem erfüllt die Folge
die Rekursion .
Die Folge
erfüllt daher die Rekursion , wobei ist.
Also ist .
Kotangens HyperbolicusBearbeiten
Arkussinus und Areasinus HyperbolicusBearbeiten
Arkustangens und Areatangens HyperbolicusBearbeiten
LogarithmusBearbeiten
FehlerfunktionBearbeiten
GammafunktionBearbeiten
BesselfunktionBearbeiten
Setze .
Es gilt
,
gleichbedeutend mit
.
Multipliziert man mit durch und summiert über , so führt dies zur Gleichung .
Daher ist und somit .
Also ist