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Formelsammlung Mathematik: Hyperbelfunktionen
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Formelsammlung Mathematik
Definition von Hyperbel- und Winkelfunktionen durch die e-Funktion
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sin
(
z
)
=
e
i
z
−
e
−
i
z
2
i
{\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{\mathrm {i} z}-e^{-\mathrm {i} z}}{2\mathrm {i} }}}
sinh
(
z
)
=
e
z
−
e
−
z
2
{\displaystyle \sinh(z)={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}}
sin
(
i
z
)
=
i
sinh
(
z
)
{\displaystyle \sin(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \sinh(z)\,}
sinh
(
i
z
)
=
i
sin
(
z
)
{\displaystyle \sinh(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \sin(z)\,}
cos
(
z
)
=
e
i
z
+
e
−
i
z
2
{\displaystyle \cos(z)={\frac {e^{\mathrm {i} z}+e^{-\mathrm {i} z}}{2}}}
cosh
(
z
)
=
e
z
+
e
−
z
2
{\displaystyle \cosh(z)={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}}
cos
(
i
z
)
=
cosh
(
z
)
{\displaystyle \cos(\mathrm {i} z)=\cosh(z)\,}
cosh
(
i
z
)
=
cos
(
z
)
{\displaystyle \cosh(\mathrm {i} z)=\cos(z)\,}
tan
(
z
)
=
1
i
e
i
z
−
e
−
i
z
e
i
z
+
e
−
i
z
{\displaystyle \tan(z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\,{\frac {e^{\mathrm {i} z}-e^{-\mathrm {i} z}}{e^{\mathrm {i} z}+e^{-\mathrm {i} z}}}}
tanh
(
z
)
=
e
z
−
e
−
z
e
z
+
e
−
z
{\displaystyle \tanh(z)={\frac {e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}}}
tan
(
i
z
)
=
i
tanh
(
z
)
{\displaystyle \tan(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \tanh(z)\,}
tanh
(
i
z
)
=
i
tan
(
z
)
{\displaystyle \tanh(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \tan(z)\,}
cot
(
z
)
=
i
e
i
z
+
e
−
i
z
e
i
z
−
e
−
i
z
{\displaystyle \cot(z)=\mathrm {i} \,{\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}}
coth
(
z
)
=
e
z
+
e
−
z
e
z
−
e
−
z
{\displaystyle \coth(z)={\frac {e^{z}+e^{-z}}{e^{z}-e^{-z}}}}
cot
(
i
z
)
=
1
i
coth
(
z
)
{\displaystyle \cot(\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\coth(z)\,}
coth
(
i
z
)
=
1
i
cot
(
z
)
{\displaystyle \coth(\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\cot(z)\,}
sec
(
z
)
=
2
e
i
z
+
e
−
i
z
{\displaystyle \sec(z)={\frac {2}{e^{\mathrm {i} z}+e^{-\mathrm {i} z}}}}
sech
(
z
)
=
2
e
z
+
e
−
z
{\displaystyle \operatorname {sech} (z)={\frac {2}{e^{z}+e^{-z}}}}
sec
(
i
z
)
=
sech
(
z
)
{\displaystyle \sec(\mathrm {i} z)=\operatorname {sech} (z)}
sech
(
i
z
)
=
sec
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (\mathrm {i} z)=\sec(z)}
csc
(
z
)
=
2
i
e
i
z
−
e
−
i
z
{\displaystyle \csc(z)={\frac {2\mathrm {i} }{e^{\mathrm {i} z}-e^{-\mathrm {i} z}}}}
csch
(
z
)
=
2
e
z
−
e
−
z
{\displaystyle \operatorname {csch} (z)={\frac {2}{e^{z}-e^{-z}}}}
csc
(
i
z
)
=
1
i
csch
(
z
)
{\displaystyle \csc(\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\,\operatorname {csch} (z)}
csch
(
i
z
)
=
1
i
csc
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\,\csc(z)}
Weitere Identitäten mit Hyperbelfunktionen
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csch
(
2
z
)
=
coth
(
z
)
−
coth
(
2
z
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (2z)=\coth(z)-\coth(2z)}
