Formelsammlung Mathematik: Grenzwert einer Funktion

Formelsammlung Mathematik

Funktionen in einer VariablenBearbeiten

HilfsbegriffeBearbeiten

UmgebungenBearbeiten

Definition. Epsilon-Umgebung.

Die Menge

 

heißt (offene) Epsilon-Umgebung von p.

HäufungspunkteBearbeiten

Definition. Häufungspunkt.

Sei   und  . Man nennt p genau dann einen Häufungspunkt, wenn es eine Folge   mit   gibt, die   erfüllt.

Eine alternative äquivalente Definition lautet: Man nennt p genau dann einen Häufungspunkt, wenn

 .

Ein Punkt p ist genau dann ein Häufungspunkt von M, wenn   gilt.

Für den Abschluss   gilt:

 

Auch für   gilt:

 

Die Operation   fügt der Menge M ihren Rand hinzu. Die Operation

 

tut das selbe, entfernt dabei aber alle isolierten Punkte. Isolierte Punkte, das sind solche Punkte von M, die eine hinreichend kleine Epsilon-Umgebung besitzen, in der sie allein sind.

DefinitionBearbeiten

Definition mit Hilfe von FolgenBearbeiten

Definition. Grenzwert einer Funktion.

Sei   mit  . Sei p ein Häufungspunkt von D.

Es gilt   genau dann, wenn für alle Folgen   mit   und   gilt:  .


Definition. Linkseitiger Grenzwert einer Funktion.

Sei   mit  . Sei p ein Häufungspunkt von  .

Es gilt   genau dann, wenn für alle Folgen   mit   und   gilt:  .


Definition. Rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion.

Sei   mit  . Sei p ein Häufungspunkt von  .

Es gilt   genau dann, wenn für alle Folgen   mit   und   gilt:  .


Definition. Grenzwert einer Funktion für eine gegen plus unendlich divergierende Stelle.

Sei  , wobei D nach oben unbeschränkt ist.

Es gilt   genau dann, wenn für alle Folgen   mit   und   gilt:  .


Definition. Grenzwert einer Funktion für eine gegen minus unendlich divergierende Stelle.

Sei  , wobei D nach unten unbeschränkt ist.

Es gilt   genau dann, wenn für alle Folgen   mit   und   gilt:  .

Die Definitionen sind zu den Epsilon-Delta-Definitionen äquivalent.

Epsilon-Delta-DefinitionBearbeiten

Definition. Grenzwert einer Funktion.

Sei   mit  . Sei p ein Häufungspunkt von D.

Es gilt   genau dann, wenn

 

Beschrieben über offene Umgebungen lautet die Bedingung:

 .


GrenzwertsätzeBearbeiten

Satz. Grenzwertsätze.

Sei  , sei   und  .

Ist   und   mit  , dann gilt auch:

 
 
 

Ist zusätzlich  , dann gilt auch:

 

Regel von de l'HospitalBearbeiten

Satz. Regel von de l’Hospital.

Seien   differenzierbare Funktionen. Sei außerdem   für jedes  .

Wenn

 

oder

 

ist, gilt

 

wobei auch   oder   sein kann.

Die Regel gilt auch für   und auch wenn   oder   ist.

Bemerkung: Die Grenzwerte müssen einseitg betrachtet werden, da die Funktionen außerhalb von (ab) nicht definiert sind.

Funktionen in mehreren VariablenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Definition mit Hilfe von FolgenBearbeiten

Definition. Grenzwert einer Funktion.

Seien X, Y metrische Räume, z. B.   und   mit Betragsmetrik und speziell s=1.

Sei   und sei p ein Häufungspunkt von X.

Es gilt   genau dann, wenn für alle Folgen   mit   und   gilt:  .

Bemerkungen:

  1. Der Punkt p muss nicht unbedingt in X liegen.
  2. Der Grenzwert L muss nicht unbedingt zur Bildmenge von   gehören.
  3. Manchmal ist auch  .

Epsilon-Delta-DefinitionBearbeiten

Definition. Grenzwert einer Funktion.

Seien X, Y metrische Räume. Sei  . Sei p ein Häufungspunkt von X.

Es gilt   genau dann, wenn

 

Beschrieben über offene Umgebungen lautet die Bedingung:

 


GrenzwertsätzeBearbeiten

Satz. Grenzwertsätze.

Sei X ein metrischer Raum und E ein normierter Raum. Sei   oder  . Sei   und  .

Ist   und   sowie   mit   und  , dann gilt auch: