Formelsammlung Mathematik: Grenzwert einer Funktion

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Funktionen in einer Variablen

Hilfsbegriffe

Umgebungen

Definition. Epsilon-Umgebung.

Die Menge

$U_{\varepsilon }(p):=\{x\mid |x-p|<\varepsilon \}$

heißt (offene) Epsilon-Umgebung von p.

Häufungspunkte

Definition. Häufungspunkt.

Sei $M\subseteq \mathbb {R}$ und $p\in \mathbb {R}$. Man nennt p genau dann einen Häufungspunkt, wenn es eine Folge $(x_{n})$ mit $x_{n}\in M\setminus \{p\}$ gibt, die $\lim _{n\to \infty }x_{n}=p$ erfüllt.

Eine alternative äquivalente Definition lautet: Man nennt p genau dann einen Häufungspunkt, wenn

$\forall \varepsilon {>}0\;\exists x\neq p\colon \;x\in U_{\varepsilon }(p)$.

Ein Punkt p ist genau dann ein Häufungspunkt von M, wenn $p\in {\overline {M\setminus \{p\}}}$ gilt.

Für den Abschluss ${\overline {M}}$ gilt:

${\overline {(a,b)}}={\overline {[a,b)}}={\overline {(a,b]}}={\overline {[a,b]}}=[a,b].$

Auch für $p\in \mathbb {R}$ gilt:

${\overline {(a,b)\setminus \{p\}}}={\overline {[a,b]\setminus \{p\}}}=[a,b].$

Die Operation ${\overline {M}}$ fügt der Menge M ihren Rand hinzu. Die Operation

$L(M):=\{p\mid p\in {\overline {M\setminus \{p\}}}\}$

tut das selbe, entfernt dabei aber alle isolierten Punkte. Isolierte Punkte, das sind solche Punkte von M, die eine hinreichend kleine Epsilon-Umgebung besitzen, in der sie allein sind.

Definition

Definition mit Hilfe von Folgen

Definition. Grenzwert einer Funktion.

Sei $f\colon D\to \mathbb {R}$ mit $D\subseteq \mathbb {R}$. Sei p ein Häufungspunkt von D.

Es gilt $\lim _{x\to p}f(x)=L$ genau dann, wenn für alle Folgen $(x_{n})$ mit $x_{n}{\in }D\setminus \{p\}$ und $\lim _{n\to \infty }x_{n}=p$ gilt: $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L$.

Definition. Linkseitiger Grenzwert einer Funktion.

Sei $f\colon D\to \mathbb {R}$ mit $D\subseteq \mathbb {R}$. Sei p ein Häufungspunkt von $D\cap (-\infty ,p)$.

Es gilt $\lim _{x\uparrow p}f(x)=L$ genau dann, wenn für alle Folgen $(x_{n})$ mit $x_{n}{\in }D,x_{n}<p$ und $\lim _{n\to \infty }x_{n}=p$ gilt: $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L$.

Definition. Rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion.

Sei $f\colon D\to \mathbb {R}$ mit $D\subseteq \mathbb {R}$. Sei p ein Häufungspunkt von $D\cap (p,\infty )$.

Es gilt $\lim _{x\downarrow p}f(x)=L$ genau dann, wenn für alle Folgen $(x_{n})$ mit $x_{n}{\in }D,x_{n}>p$ und $\lim _{n\to \infty }x_{n}=p$ gilt: $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L$.

Definition. Grenzwert einer Funktion für eine gegen plus unendlich divergierende Stelle.

Sei $f\colon D\to \mathbb {R}$, wobei D nach oben unbeschränkt ist.

Es gilt $\lim _{x\to \infty }f(x)=L$ genau dann, wenn für alle Folgen $(x_{n})$ mit $x_{n}\in D$ und $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty$ gilt: $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L$.

Definition. Grenzwert einer Funktion für eine gegen minus unendlich divergierende Stelle.

Sei $f\colon D\to \mathbb {R}$, wobei D nach unten unbeschränkt ist.

Es gilt $\lim _{x\to -\infty }f(x)=L$ genau dann, wenn für alle Folgen $(x_{n})$ mit $x_{n}\in D$ und $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty$ gilt: $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L$.

Die Definitionen sind zu den Epsilon-Delta-Definitionen äquivalent.

Epsilon-Delta-Definition

Definition. Grenzwert einer Funktion.

Sei $f\colon D\to \mathbb {R}$ mit $D\subseteq \mathbb {R}$. Sei p ein Häufungspunkt von D.

Es gilt $\lim _{x\to p}f(x)=L$ genau dann, wenn

$\forall \varepsilon {>}0\;\exists \delta {>}0\;\forall x{\in }D\;[0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ].$

Beschrieben über offene Umgebungen lautet die Bedingung:

$\forall \varepsilon {>}0\;\exists \delta {>}0\;\forall x{\in }D\;[x\in U_{\delta }(p)\setminus \{p\}\implies f(x)\in U_{\varepsilon }(L)]$.

Grenzwertsätze

Satz. Grenzwertsätze.

Sei $D\subseteq \mathbb {R}$, sei $f,g\colon D\to \mathbb {R}$ und $p\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}$.

Ist $\lim _{x\to p}f(x)=a$ und $\lim _{x\to p}g(x)=b$ mit $a,b\in \mathbb {R}$, dann gilt auch:

$\lim _{x\to p}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to p}f(x)+\lim _{x\to p}g(x)=a+b,$

$\lim _{x\to p}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to p}f(x)-\lim _{x\to p}g(x)=a-b,$

$\lim _{x\to p}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to p}f(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)=a\cdot b.$

Ist zusätzlich $b\neq 0$, dann gilt auch:

$\lim _{x\to p}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim _{x\to p}f(x)}{\lim _{x\to p}g(x)}}={\frac {a}{b}}.$

Regel von de l'Hospital

Satz. Regel von de l’Hospital.

Seien $f,g\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ differenzierbare Funktionen. Sei außerdem $g'(x)\neq 0$ für jedes $x\in (a,b)$.

Wenn

$\lim _{x\to b}f(x)=\lim _{x\to b}g(x)=0$

oder

$\lim _{x\to b}|f(x)|=\lim _{x\to b}|g(x)|=\infty$

ist, gilt

$\lim _{x\to b}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L\implies \lim _{x\to b}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L,$

wobei auch $L=-\infty$ oder $L=+\infty$ sein kann.

Die Regel gilt auch für $x\to a$ und auch wenn $a=-\infty$ oder $b=+\infty$ ist.

Bemerkung: Die Grenzwerte müssen einseitg betrachtet werden, da die Funktionen außerhalb von (a, b) nicht definiert sind.

Funktionen in mehreren Variablen

Definition

Definition mit Hilfe von Folgen

Definition. Grenzwert einer Funktion.

Seien X, Y metrische Räume, z. B. $X\subseteq \mathbb {R} ^{r}$ und $Y\subseteq \mathbb {R} ^{s}$ mit Betragsmetrik und speziell s=1.

Sei $f\colon X\to Y$ und sei p ein Häufungspunkt von X.

Es gilt $\lim _{x\to p}f(x)=L$ genau dann, wenn für alle Folgen $(x_{n})$ mit $x_{n}\in X\setminus \{p\}$ und $\lim _{n\to \infty }x_{n}=p$ gilt: $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L$.

Bemerkungen:

1. Der Punkt p muss nicht unbedingt in X liegen.
2. Der Grenzwert L muss nicht unbedingt zur Bildmenge von $f$ gehören.
3. Manchmal ist auch $f(p)\neq L$.

Epsilon-Delta-Definition

Definition. Grenzwert einer Funktion.

Seien X, Y metrische Räume. Sei $f\colon X\to Y$. Sei p ein Häufungspunkt von X.

Es gilt $\lim _{x\to p}f(x)=L$ genau dann, wenn

$\forall \varepsilon {>}0\;\exists \delta {>}0\;\forall x{\in }X\;[0<d(x,p)<\delta \implies d(f(x),L)<\varepsilon ].$

Beschrieben über offene Umgebungen lautet die Bedingung:

$\forall \varepsilon {>}0\;\exists \delta {>}0\;\forall x{\in }X\;[x\in U_{\delta }(p)\setminus \{p\}\implies f(x)\in U_{\varepsilon }(L)].$

Grenzwertsätze

Satz. Grenzwertsätze.

Sei X ein metrischer Raum und E ein normierter Raum. Sei $K=\mathbb {R}$ oder $K=\mathbb {C}$. Sei $f,g\colon X\to E$ und $r\colon X\to K$.

Ist $\lim _{x\to p}f(x)=a$ und $\lim _{x\to p}g(x)=b$ sowie $\lim _{x\to p}r(x)=\lambda$ mit $a,b\in E$ und $\lambda \in K$, dann gilt auch:

$\lim _{x\to p}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to p}f(x)+\lim _{x\to p}g(x)=a+b,$

$\lim _{x\to p}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to p}f(x)-\lim _{x\to p}g(x)=a-b,$

$\lim _{x\to p}(r(x)f(x))=\lim _{x\to p}r(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)=\lambda a,$

$\lim _{x\to p}\|f(x)\|=\|\lim _{x\to p}f(x)\|=\|a\|.$