Formelsammlung Mathematik: Funktionentheorie

Formelsammlung Mathematik

Holomorphe FunktionenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Definition. Holomorphe Funktion.

Sei   eine offene Menge und  . Die Funktion   wird holomorph an der Stelle   genannt, wenn der Grenzwert

 

existiert.


Beziehung zur reellen AnalysisBearbeiten

Holomorphie-Kriterium (Cauchy-Riemann-Gleichungen).

Das Argument und Bild von   werden nun in Real- und Imaginärteil zerlegt. Das sind die Zerlegungen   und  . Die Funktion   ist genau dann holomorph an der Stelle  , wenn bei (x0y0) die partiellen Ableitungen stetig sind und die Cauchy-Riemann-Gleichungen

  bei (x0y0)

gelten.


Interpretation als spezielles VektorfeldBearbeiten

Auf dem Koordinatenraum wird das Vektorfeld

 

definiert. Die Cauchy-Riemann-Gleichungen lassen sich nun als Quellenfreiheit

 

und Rotationsfreiheit

 

interpretieren.


HilfsbegriffeBearbeiten

Für das totale Differential

 

gibt es die Umformulierung

 

Hierbei ist   und  .

Definition. Wirtinger-Operatoren.

Die Ableitungsoperatoren

 

mit   heißen Wirtinger-Operatoren.

Die Cauchy-Riemann-Gleichungen lassen sich nun zur Gleichung

 

zusammenfassen. Für holomorphe Funktionen reduziert sich das totale Differential wegen der letzten Gleichung auf die Form

 


Harmonische FunktionenBearbeiten

Definition. Harmonische Funktion.

Sei   eine offene Menge. Eine Funktion   heißt harmonisch an der Stelle  , wenn die Laplace-Gleichung   mit dem Laplace-Operator

 

erfüllt ist.

Ist   an der Stelle z0 holomorph, so sind der Realteil u und der Imaginärteil v an der Stelle   harmonisch. Das heißt es gilt

 

Ist eine Funktion u auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet harmonisch, so lässt sich stets eine harmonische Funktion v finden, so dass   holomorph ist. Die Funktion v ist bis auf eine additive reelle Konstante c eindeutig bestimmt. Das heißt, v darf auch durch v+c ersetzt werden.

Die Funktion v wird die harmonisch Konjugierte zu u genannt. An jeder Stelle (x0y0) treffen die Linien

 

senkrecht aufeinander.


WegintegraleBearbeiten

Integral einer komplexwertigen FunktionBearbeiten

Für   mit   ist

 

wenn u und v integrierbar sind.


WegintegralBearbeiten

Definition. Kurvenintegral.

Sei   ein Gebiet und   ein (zumindest stückweise) stetig differenzierbarer Weg.

Für   wird

 

das Kurvenintegral von   entlang von   genannt.


Integralsatz von CauchyBearbeiten

Integralsatz von Cauchy.

Ist G ein einfach zusammenhängendes Gebiet und   holomorph, so gilt für jeden Weg   von   nach   die Formel

 

wobei die Funktion F nicht vom gewählten Weg abhängig ist.

Außerdem ist F eine Stammfunktion zu  , das heißt   ist für jedes   gültig.

Sind die Voraussetzungen für den Integralsatz erfüllt, dann motiviert Wegunabhängigkeit die Definition

 

bei der auf Wege gänzlich verzichtet wird.