Formelsammlung Mathematik: Fourierreihen

Formelsammlung Mathematik

Fourier-SkalarproduktBearbeiten

Seien   periodische Funktionen mit Periodendauer  . Definition:

 .

Bemerkung: Im Fall einer rein reellen Funktion ist die Konjugation wirkungslos und kann somit entfallen.

Diese Operation ist ein Skalarprodukt auf dem Hilbertraum  .

Manchmal ist die Interpretation von   nicht zeitartig. In diesem Fall bieten sich auch die alternativen Bezeichnungen   und   an. Einige Autoren verwenden die Substitution   anstelle der Festlegung   oder   anstelle von  .

Meistens ist   und  . In diesem Fall gilt

 .

Das Skalarprodukt induziert die Fourier-Norm

 

Die Definition des Skalarproduktes ist so gewählt, dass es sich bei   um den Effektivwert von   handelt.

Die Norm induziert die Fourier-Metrik

 .

Fourier-BasisBearbeiten

Die Funktionen

 

mit   bilden die ONB (Orthonormalbasis)

 

Mit   ist die Kreisfrequenz gemeint.

Fourier-KoeffizientenBearbeiten

Reelle Fourier-KoeffizientenBearbeiten

allgemein  
     
     

Formeln für symmetrische Funktionen:

Bedingung
     
     

Die Operationen   und   sind lineare Funktionale:

Additivität Homogenität  
   
   

Komplexe Fourier-KoeffizientenBearbeiten

allgemein  
   

Kurz:

 .

Bei   handelt es sich um ein lineares Funktional. Es gilt

 
 

Umrechnung zwischen komplexen und reellen KoeffizientenBearbeiten

reell zu komplex komplex zu reell
   
   
   

Alle Formeln gelten für  .

OrthogonalitätsrelationenBearbeiten

Reelle OrthogonalitätsrelationenBearbeiten

Für   gilt:

 

Für   gilt:

 

und

 

Komplexe OrthogonalitätsrelationenBearbeiten

Für   gilt

 ,

wobei   das Kronecker-Delta ist. Kurz:

 

FourierreiheBearbeiten

Reelle FourierreiheBearbeiten

Fourier-Polynom:

 

Ist   eine stetig differenzierbare periodische Funktion, so gilt für alle  :

 

Für   gilt:

 

Komplexe FourierreiheBearbeiten

Fourier-Polynom:

 

Abstrakte Darstellung: Für   gilt:

 

 : Orthonormalbasis des Hilbertraums  .