Formelsammlung Mathematik: Folgen

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Grenzwert

Definition. Konvergente Folge, Grenzwert, Epsilon-Umgebung.

Eine Folge $(a_{n})$ mit $a_{n}\in X$ heißt konvergent gegen $g$, wenn gilt:

$\forall \varepsilon {>}0\;\;\exists n_{0}{\in }\mathbb {N} \;\;\forall n{\geq }n_{0}\colon \;a_{n}\in U_{\varepsilon }(g).$

Man schreibt $\lim _{n\to \infty }a_{n}=g$ bzw. $a_{n}\to g$ für $n\to \infty$ und nennt $g$ den Grenzwert von $(a_{n})$. Die Menge

$U_{\varepsilon }(g):=\{p\in X\mid d(p,g)<\varepsilon \}$

heißt $\varepsilon$-Umgebung von $g$. Somit gilt

$a_{n}\in U_{\varepsilon }(g)\iff d(a_{n},g)<\varepsilon$.

Beschaffenheit von $X$	Abstandsfunktion
$X=\mathbb {R}$	$d(p,g)=|p-g|$
$X$ ist ein normierter Raum	$d(p,g)=\|p-g\|$
$X$ ist ein metrischer Raum	$d(p,g)$ ist die Metrik

Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert. Voraussetzung: die Werte der Folge liegen in einem Hausdorff-Raum. Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum und jeder normierte Raum ist ein metrischer Raum.

Häufungspunkte

Definition. Häufungspunkt.

Ein Punkt $h$ heißt Häufungspunkt einer Folge $a_{n}$, wenn gilt:

$\forall \varepsilon {>}0\;\;\forall n_{0}{\in }\mathbb {N} \;\;\exists n{\geq }n_{0}\colon \;\;a_{n}\in U_{\varepsilon }(h).$

In Worten: Ein Punkt heißt Häufungspunkt, wenn in jeder Umgebung des Punktes unendlich viele Werte der Folge liegen.

Grenzwertsätze

Vergleichssatz

Gilt $a_{n}\to a$ und $b_{n}\to b$ und ab einem bestimmten Index immer $a_{n}\leq b_{n}$, so ist auch $a\leq b$.

Einschnürungssatz

Gilt $a_{n}\to g$ und $b_{n}\to g$ und ab einem bestimmten Index immer $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$, so gilt auch $c_{n}\to g$.

Rechenregeln

Seien $(a_{n})$ und $(b_{n})$ konvergente Folgen von reellen Zahlen mit $a_{n}\to a$ und $b_{n}\to b$. Es gilt:

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=a+b,$

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=a-b,$

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=ab.$

Ist $b\neq 0$, so gilt:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}.$

Allgemeine Rechenregeln

Seien $(a_{n})$ und $(b_{n})$ konvergente Folgen von reellen Zahlen mit $a_{n}\to a$ und $b_{n}\to b$.

Ist $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ stetig bei $a$, so gilt:

$\lim _{n\to \infty }f(a_{n})=f(a).$

Ist $g\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ stetig bei $(a,b)$, so gilt:

$\lim _{n\to \infty }g(a_{n},b_{n})=g(a,b).$

Konvergenzkriterien

Monotoniekriterium

Man betrachte Folgen von reellen Zahlen.

• Jede monoton wachsende Folge konvergiert genau dann, wenn sie nach oben beschränkt ist. Der Grenzwert ist das Supremum der Folge.
• Jede monoton fallende Folge konvergiert genau dann, wenn sie nach unten beschränkt ist. Der Grenzwert ist das Infimum der Folge.

Cauchy-Kriterium

Definition. Cauchy-Folge.

Eine Folge $(a_{n})$ von Punkten eines metrischen Raums $(X,d)$ heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:

$\forall \varepsilon {>}0\;\;\exists n_{0}{\in }\mathbb {N} \;\;\forall m{\geq }n_{0},n{\geq }n_{0}\colon \;\;d(a_{m},a_{n})<\varepsilon .$

Man setze speziell $d(x,y):=|x-y|$ bzw. $d(x,y):=\|x-y\|$.

Cauchy-Kriterium: Eine Folge von reellen Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.