Formelsammlung Mathematik: Folgen

Formelsammlung Mathematik

GrenzwertBearbeiten

Definition. Konvergente Folge, Grenzwert, Epsilon-Umgebung.

Eine Folge   mit   heißt konvergent gegen  , wenn gilt:

 

Man schreibt   bzw.   für   und nennt   den Grenzwert von  . Die Menge

 

heißt  -Umgebung von  . Somit gilt

 .
Beschaffenheit von   Abstandsfunktion
   
  ist ein normierter Raum  
  ist ein metrischer Raum   ist die Metrik

Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert. Voraussetzung: die Werte der Folge liegen in einem Hausdorff-Raum. Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum und jeder normierte Raum ist ein metrischer Raum.

HäufungspunkteBearbeiten

Definition. Häufungspunkt.

Ein Punkt   heißt Häufungspunkt einer Folge  , wenn gilt:

 

In Worten: Ein Punkt heißt Häufungspunkt, wenn in jeder Umgebung des Punktes unendlich viele Werte der Folge liegen.

GrenzwertsätzeBearbeiten

VergleichssatzBearbeiten

Gilt   und   und ab einem bestimmten Index immer  , so ist auch  .

EinschnürungssatzBearbeiten

Gilt   und   und ab einem bestimmten Index immer  , so gilt auch  .

RechenregelnBearbeiten

Seien   und   konvergente Folgen von reellen Zahlen mit   und  . Es gilt:

 
 
 

Ist  , so gilt:

 

Allgemeine RechenregelnBearbeiten

Seien   und   konvergente Folgen von reellen Zahlen mit   und  .

Ist   stetig bei  , so gilt:

 

Ist   stetig bei  , so gilt:

 

KonvergenzkriterienBearbeiten

MonotoniekriteriumBearbeiten

Man betrachte Folgen von reellen Zahlen.

  • Jede monoton wachsende Folge konvergiert genau dann, wenn sie nach oben beschränkt ist. Der Grenzwert ist das Supremum der Folge.
  • Jede monoton fallende Folge konvergiert genau dann, wenn sie nach unten beschränkt ist. Der Grenzwert ist das Infimum der Folge.

Cauchy-KriteriumBearbeiten

Definition. Cauchy-Folge.

Eine Folge   von Punkten eines metrischen Raums   heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:

 

Man setze speziell   bzw.  .

Cauchy-Kriterium: Eine Folge von reellen Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.