Formelsammlung Mathematik: Eigenwerte

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Die Matrix $A={\begin{pmatrix}0&n\\1&0&n-1\\&2&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &2\\&&&n-1&0&1\\&&&&n&0\end{pmatrix}}$ besitzt die Eigenwerte $-n,-n+2,...,n-2,n$.

Beweis (Kac-Matrix)

Setze $f_{k}(x)=\sinh ^{k}(x)\cdot \cosh ^{n-k}(x)$

und $g_{k}(x)=(\cosh x+\sinh x)^{k}\cdot (\cosh x-\sinh x)^{n-k}=e^{(2k-n)x}$.

Und es sei $V\,$ der Vektorraum von Funktionen mit $\left\{f_{k}(x)\right\}$ als Basis.

Wegen $f_{k}'(x)=k\cdot f_{k-1}(x)+(n-k)\cdot f_{k+1}(x)\in V$ gilt ${\begin{pmatrix}f_{0}'(x)\\\vdots \\f_{n}'(x)\end{pmatrix}}=A\cdot {\begin{pmatrix}f_{0}(x)\\\vdots \\f_{n}(x)\end{pmatrix}}$.         ${\vec {f}}^{\,\prime }(x)=A\cdot {\vec {f}}(x)$

Wegen $g_{k}(x)\in V$ gibt es eine Transformationsmatrix $T\,$, so dass ${\begin{pmatrix}g_{0}(x)\\\vdots \\g_{n}(x)\end{pmatrix}}=T\cdot {\begin{pmatrix}f_{0}(x)\\\vdots \\f_{n}(x)\end{pmatrix}}$ gilt.         ${\vec {g}}(x)=T\cdot {\vec {f}}(x)$

Und es ist ${\vec {g}}^{\,\prime }(x)={\begin{pmatrix}g_{0}'(x)\\g_{1}'(x)\\\vdots \\g_{n-1}'(x)\\g_{n}'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-n\cdot g_{0}(x)\\(-n+2)\cdot g_{1}(x)\\\vdots \\(n-2)\cdot g_{n-1}(x)\\n\cdot g_{n}(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-n\\&-n+2\\&&\ddots \\&&&&n-2\\&&&&&n\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}g_{0}(x)\\g_{1}(x)\\\vdots \\g_{n-1}(x)\\g_{n}(x)\end{pmatrix}}$.         ${\vec {g}}^{\,\prime }(x)=\Lambda \cdot {\vec {g}}(x)$

${\vec {g}}^{\,\prime }(x)=\Lambda \cdot {\vec {g}}(x)$ ist gleichbedeutend mit $\left(T\cdot {\vec {f}}(x)\right)'=\Lambda \cdot \left(T\cdot {\vec {f}}(x)\right)$.

Also ist $T\cdot {\vec {f}}^{\,\prime }(x)=\Lambda \cdot T\cdot {\vec {f}}(x)$ und somit ${\vec {f}}^{\,\prime }(x)=T^{-1}\cdot \Lambda \cdot T\cdot {\vec {f}}(x)$.

Daraus folgt $A=T^{-1}\cdot \Lambda \cdot T$. Die Kac-Matrix $A\,$ ist ähnlich zur Diagonalmatrix $\Lambda \,$ und besitzt daher die selben Eigenwerte.