Formelsammlung Mathematik: Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

Formelsammlung Mathematik

Diskrete WahrscheinlichkeitsräumeBearbeiten

Definition. Ergebnis, Ereignis, Ergebnismenge, Ereignisraum, unmögliches Ereignis, sicheres Ereignis.

Eine abzählbare Ergebnismenge Ω ist eine endliche (oder abzählbar unendliche) Menge, die als Grundmenge verwendet wird. Ein Element von Ω heißt Ergebnis oder Elementarereignis.

Die Potenzmenge 2Ω heißt Ereignisraum, die Elemente heißen Ereignisse.

Man nennt die leere Menge {} das unmögliche und Ω das sichere Ereignis.

Z. B. ist beim Würfeln

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

und das Ereignis {2, 4} ist eingetreten, wenn eine zwei oder eine vier gewürfelt wurde.


Definition. Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, Wahrscheinlichkeitsmaß.

Ein Paar (Ω, P) heißt diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, wenn Ω eine abzählbare Ergebnismenge ist und

 

die Eigenschaft

 

besitzt. Die Abbildung P heißt (das von den Einzelwahrscheinlichkeiten induzierte) Wahrscheinlichkeitsmaß. Sie ordnet jedem Ereignis A eine Wahrscheinlichkeit P(A) zu. Man spricht auch von einer Verteilung auf Ω.

Beim Würfeln gilt

 

wobei mit |A| die Anzahl der Elemente vom Ereignis A gemeint ist. Z. B. ist

 

Axiome von KolmogorowBearbeiten

Definition. Wahrscheinlichkeitsmaß (Axiome von Kolmogorow).

Gegeben ist ein Messraum (Ω, Σ). Man nennt P ein Wahrscheinlicheitsmaß, wenn gilt:

  1. P ist eine Funktion  .
  2.  .
  3. Ist   eine abzählbare Indexmenge und sind die   für   paarweise disjunkte Ereignisse, so gilt:
     

Bei einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) und Σ:=2Ω sind die Axiome erfüllt.

Rechenregeln für WahrscheinlichkeitenBearbeiten

Aus den Axiomen von Kolmogorow folgen folgende Rechenregeln für ein Wahrscheinlichkeitsmaß P:

Regel Kommentar
  Das umögliche Ereignis trifft niemals ein.
  Das sichere Ereignis trifft immer ein.
  Siebformel.

Für drei Ereignisse ABC gilt:

 .

Man nennt   das komplementäre Ereignis zu A. Es gilt:

Regel Kommentar
  Entweder tritt das Ereignis oder das Komplement ein (disjunkte Zerlegung), denn Ω tritt sicher ein.
  Ereignis und Komplement schließen sich aus (sind disjunkt), denn {} tritt niemals ein.
  Die Wahrscheinlichkeit für das Komplement ist 1−P(A).

Mehrstufige ExperimenteBearbeiten

 
Zweistufiges Experiment mit vorzeitigem Abbruch beim Ergebnis a2. Baumdiagramm zur Ergebnismenge
{(a1,b1), (a1,b2), a2}.

Ein zweistufiges Zufallsexperiment mit einem ersten Ergebnis aus Ω1 und einem zweiten aus Ω2 lässt sich als Zufallsexperiment modellieren, bei dem die Ergebnismenge das kartesische Produkt Ω = Ω1×Ω2 ist. Bei einem n-stufigen Experiment gilt

 

Auch beim Vorhandensein von Abbruchbedingungen kann Ω als kartesisches Produkt formuliert werden, wenn die Pfade nach dem Abbruch alle eine Pfadwahrscheinlichkeit von null erhalten. Alternativ ist eine Formulierung von Ω als Vereinigungsmenge von Ereignissen möglich. Betrachte z. B.

 

wo ein Abbruch stattfindet, wenn a2 eingetreten ist.

 
Zweistufiges Experiment mit disjunkten Zerlegungen Ω = A1A2A3 und Ω = BC. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A1B ist P(A1) mal P(B|A1).

Erste Pfadregel.

Sei a ∈ Ω1, b ∈ Ω2, A = {a}×Ω2 und B = Ω1×{b}. Es gilt

 

In Worten: Das Ereignis {(ab)} tritt ein, wenn zuerst der Pfad A eingetreten ist, und dann auch der Pfad B. Die Wahrscheinlichkeit ist das Produkt der Pfadwahrscheinlichkeiten P(A) und P(B|A).

Wenn die Teilexperimente stochastisch unabhängig sind, gilt

 

Zweite Pfadregel.

Sind ab ∈ Ω zwei unterschiedliche Ergebnisse, dann gilt

 

In Worten: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, welches eintritt wenn der erste oder der zweite Pfad eingetreten ist, ist die Summe der beiden Pfadwahrscheinlichkeiten.

Sind bei einem n-stufigen Experiment die Teilexperimente alle Laplace-Experimente, dann gilt

 

mit t ∈ Ω und Ω = Ω1×…×Ωn.

Führt man immer wieder das selbe Laplace-Experiment aus, gilt

 

mit  .

Würfelt man z. B. n-mal hintereinander, dann gibt es 6n totale Pfade und für jeden totalen Pfad ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von (1/6)n.

Bedingte WahrscheinlichkeitBearbeiten

Definition. Bedingte Wahrscheinlichkeit.

Für zwei Ereignisse AB mit P(B)>0 nennt man

 

die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, vorausgesetzt B.

Bei

 

handelt es sich wieder um ein Wahrscheinlichkeitsmaß.

Satz von Bayes. Für P(A)>0 und P(B)>0 gilt:

 

Unabhängige EreignisseBearbeiten

Definition. Stochastische Unabhängigkeit.

Zwei Ereignisse AB heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt:

 

Laplace-VerteilungBearbeiten

Definition. Gleichverteilung (Laplace-Verteilung).

Sei Ω eine endliche Ergebnismenge. Gilt

 

für alle  , so nennt man P die Gleichverteilung oder Laplace-Verteilung.

Bei einer Laplace-Verteilung gilt

 

ZufallsvariablenBearbeiten

Definition. Zufallsvariable, Realisationen.

Sei (Ω, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Jede Funktion

 

heißt Zufallsvariable. Die Funktionswerte   heißen Realisationen der Zufallsvariable.

Eine Zufallsvariable X überträgt die Wahrscheinlichkeitsrechnung vom Raum (Ω, P) in den neuen Wahrscheinlichkeitsraum (RPX), wobei

 

definiert wird. Mit

 

ist das Urbild von A gemeint. Die folgenden Kurzschreibweisen haben sich eingebürgert:

 

Wenn man ein Urbild direkt angeben möchte, schreibt man auch

 

usw.


Definition. Verteilungsfunktion.

Für eine Zufallsvariable X wird

 

Verteilungsfunktion von X genannt.

Für eine Verteilungsfunktion F gilt:

  1. F ist monoton wachsend,
  2. F ist rechtsseitig stetig,
  3.  ,
  4.  ,
  5.  .