Formelsammlung Mathematik: Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Definition. Ergebnis, Ereignis, Ergebnismenge, Ereignisraum, unmögliches Ereignis, sicheres Ereignis.

Eine abzählbare Ergebnismenge Ω ist eine endliche (oder abzählbar unendliche) Menge, die als Grundmenge verwendet wird. Ein Element von Ω heißt Ergebnis oder Elementarereignis.

Die Potenzmenge 2^Ω heißt Ereignisraum, die Elemente heißen Ereignisse.

Man nennt die leere Menge {} das unmögliche und Ω das sichere Ereignis.

Z. B. ist beim Würfeln

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

und das Ereignis {2, 4} ist eingetreten, wenn eine zwei oder eine vier gewürfelt wurde.

Definition. Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, Wahrscheinlichkeitsmaß.

Ein Paar (Ω, P) heißt diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, wenn Ω eine abzählbare Ergebnismenge ist und

$P(A):=\sum _{\omega \in A}P(\{\omega \}),\quad P\colon 2^{\Omega }\to [0,1]$

die Eigenschaft

$\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})=1$

besitzt. Die Abbildung P heißt (das von den Einzelwahrscheinlichkeiten induzierte) Wahrscheinlichkeitsmaß. Sie ordnet jedem Ereignis A eine Wahrscheinlichkeit P(A) zu. Man spricht auch von einer Verteilung auf Ω.

Beim Würfeln gilt

$P(A)={\frac {|A|}{6}},$

wobei mit |A| die Anzahl der Elemente vom Ereignis A gemeint ist. Z. B. ist

$P(\{2,4\})={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}.$

Axiome von Kolmogorow

Definition. Wahrscheinlichkeitsmaß (Axiome von Kolmogorow).

Gegeben ist ein Messraum (Ω, Σ). Man nennt P ein Wahrscheinlicheitsmaß, wenn gilt:

1. P ist eine Funktion $P\colon \Sigma \to [0,1]$.
2. $P(\Omega )=1$.
3. Ist $I$ eine abzählbare Indexmenge und sind die $A_{i}$ für $i\in I$ paarweise disjunkte Ereignisse, so gilt:

   $P{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}=\sum _{i\in I}P(A_{i}).$

Bei einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) und Σ:=2^Ω sind die Axiome erfüllt.

Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten

Aus den Axiomen von Kolmogorow folgen folgende Rechenregeln für ein Wahrscheinlichkeitsmaß P:

Regel	Kommentar
$P(\{\})=0$	Das umögliche Ereignis trifft niemals ein.
$P(\Omega )=1$	Das sichere Ereignis trifft immer ein.
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$	Siebformel.

Für drei Ereignisse A, B, C gilt:

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$.

Man nennt ${\overline {A}}:=\Omega \setminus A$ das komplementäre Ereignis zu A. Es gilt:

Regel	Kommentar
$A\cup {\overline {A}}=\Omega$	Entweder tritt das Ereignis oder das Komplement ein (disjunkte Zerlegung), denn Ω tritt sicher ein.
$A\cap {\overline {A}}=\{\}$	Ereignis und Komplement schließen sich aus (sind disjunkt), denn {} tritt niemals ein.
$P(A\cup {\overline {A}})=P(A)+P({\overline {A}})=1.$	Die Wahrscheinlichkeit für das Komplement ist 1−P(A).

Mehrstufige Experimente

Zweistufiges Experiment mit vorzeitigem Abbruch beim Ergebnis a₂. Baumdiagramm zur Ergebnismenge
{(a₁,b₁), (a₁,b₂), a₂}.

Ein zweistufiges Zufallsexperiment mit einem ersten Ergebnis aus Ω₁ und einem zweiten aus Ω₂ lässt sich als Zufallsexperiment modellieren, bei dem die Ergebnismenge das kartesische Produkt Ω = Ω₁×Ω₂ ist. Bei einem n-stufigen Experiment gilt

$\Omega =\Omega _{1}\times \ldots \times \Omega _{n}.$

Auch beim Vorhandensein von Abbruchbedingungen kann Ω als kartesisches Produkt formuliert werden, wenn die Pfade nach dem Abbruch alle eine Pfadwahrscheinlichkeit von null erhalten. Alternativ ist eine Formulierung von Ω als Vereinigungsmenge von Ereignissen möglich. Betrachte z. B.

$\Omega =(\{a_{1}\}\times \{b_{1},b_{2}\})\cup \{a_{2}\},$

wo ein Abbruch stattfindet, wenn a₂ eingetreten ist.

Zweistufiges Experiment mit disjunkten Zerlegungen Ω = A₁∪A₂∪A₃ und Ω = B∪C. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A₁∩B ist P(A₁) mal P(B|A₁).

Erste Pfadregel.

Sei a ∈ Ω₁, b ∈ Ω₂, A = {a}×Ω₂ und B = Ω1×{b}. Es gilt

$P(\{(a,b)\})=P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A).$

In Worten: Das Ereignis {(a, b)} tritt ein, wenn zuerst der Pfad A eingetreten ist, und dann auch der Pfad B. Die Wahrscheinlichkeit ist das Produkt der Pfadwahrscheinlichkeiten P(A) und P(B|A).

Wenn die Teilexperimente stochastisch unabhängig sind, gilt

$P(B|A)=P(B).$

Zweite Pfadregel.

Sind a, b ∈ Ω zwei unterschiedliche Ergebnisse, dann gilt

$P(\{a\}\cup \{b\})=P(\{a\})+P(\{b\}).$

In Worten: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, welches eintritt wenn der erste oder der zweite Pfad eingetreten ist, ist die Summe der beiden Pfadwahrscheinlichkeiten.

Sind bei einem n-stufigen Experiment die Teilexperimente alle Laplace-Experimente, dann gilt

$P(\{t\})={\frac {1}{|\Omega |}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{|\Omega _{k}|}}$

mit t ∈ Ω und Ω = Ω₁×…×Ω_n.

Führt man immer wieder das selbe Laplace-Experiment aus, gilt

$P(t)={\frac {1}{|\Omega |}}={\frac {1}{|\Omega _{1}|^{n}}}$

mit $\Omega =\Omega _{1}^{n}$.

Würfelt man z. B. n-mal hintereinander, dann gibt es 6ⁿ totale Pfade und für jeden totalen Pfad ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von (1/6)ⁿ.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Definition. Bedingte Wahrscheinlichkeit.

Für zwei Ereignisse A, B mit P(B)>0 nennt man

$P(A|B):={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, vorausgesetzt B.

Bei

$P'(A):=P(A|B),\quad P'\colon 2^{B}\to [0,1]$

handelt es sich wieder um ein Wahrscheinlichkeitsmaß.

Satz von Bayes. Für P(A)>0 und P(B)>0 gilt:

$P(A|B)={\frac {P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}}.$

Unabhängige Ereignisse

Definition. Stochastische Unabhängigkeit.

Zwei Ereignisse A, B heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$

Laplace-Verteilung

Definition. Gleichverteilung (Laplace-Verteilung).

Sei Ω eine endliche Ergebnismenge. Gilt

$P(\{\omega \})={\frac {1}{|\Omega |}}$

für alle $\omega \in \Omega$, so nennt man P die Gleichverteilung oder Laplace-Verteilung.

Bei einer Laplace-Verteilung gilt

$P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}.$

Zufallsvariablen

Definition. Zufallsvariable, Realisationen.

Sei (Ω, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Jede Funktion

$X\colon \Omega \to \mathbb {R}$

heißt Zufallsvariable. Die Funktionswerte $x=X(\omega )$ heißen Realisationen der Zufallsvariable.

Eine Zufallsvariable X überträgt die Wahrscheinlichkeitsrechnung vom Raum (Ω, P) in den neuen Wahrscheinlichkeitsraum (R, P_X), wobei

$P_{X}\colon 2^{X(\Omega )}\to [0,1],\quad P_{X}(A):=P(X^{-1}(A))$

definiert wird. Mit

$X^{-1}(A):=\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in A\}$

ist das Urbild von A gemeint. Die folgenden Kurzschreibweisen haben sich eingebürgert:

${\begin{aligned}P(X\in A)&:=P(\{\omega \mid X(\omega )\in A\}),\\P(X=x)&:=P(\{\omega \mid X(\omega )=x\}),\\P(X\leq x)&:=P(\{\omega \mid X(\omega )\leq x\}).\end{aligned}}$

Wenn man ein Urbild direkt angeben möchte, schreibt man auch

$\{X\in A\}:=\{\omega \mid X(\omega )\in A\}$

usw.

Definition. Verteilungsfunktion.

Für eine Zufallsvariable X wird

$F(x):=P(X\leq x),\quad F\colon \,\mathbb {R} \to [0,1]$

Verteilungsfunktion von X genannt.

Für eine Verteilungsfunktion F gilt:

1. F ist monoton wachsend,
2. F ist rechtsseitig stetig,
3. $\lim \limits _{x\to -\infty }F(x)=0$,
4. $\lim \limits _{x\to \infty }F(x)=1$,
5. $P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$.