Formelsammlung Mathematik: Determinanten
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Multiplikationssatz (laut Formensammlung)Bearbeiten
Determinante von MatrixexponentialBearbeiten
Hat die Eigenwerte , so hat die Eigenwerte .
Also ist .
det(A+xyT)Bearbeiten
Vandermondsche DeterminanteBearbeiten
Es sei .
Zieht man von rechts nach links von jeder Spalte das -fache der Vorgängerspalte ab, so ist
.
Entwickelt man nach der ersten Zeile, dann besitzen die Elemente jeder Zeile einen gemeinsamen Faktor,
welcher sich aus der Restdeterminante rausziehen lässt.
Also ist ,
wobei nach Induktionsvoraussetzung ist.
Und somit ist .
Cauchy-DeterminanteBearbeiten
Es sei die Matrix mit .
Zieht man von der -ten Zeile das -fache der -ten Zeile ab, so erhält man
mit einer Matrix .
Hierbei ist
.
Bei besitzen also die Elemente jeder Zeile den gemeinsamen Faktor ,
und die Elemente jeder Spalte besitzen den gemeinsamen Faktor .
Zieht man diese gemeinsamen Faktoren aus heraus,
so ist ,
wobei nach Induktionsvoraussetzung ist.
Also ist
.