Formelsammlung Mathematik: Binomialkoeffizienten

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Wertetabelle

${\binom {n}{k}}$

	k=0	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	k=7	k=8
n=0	1
n=1	1	1
n=2	1	2	1
n=3	1	3	3	1
n=4	1	4	6	4	1
n=5	1	5	10	10	5	1
n=6	1	6	15	20	15	6	1
n=7	1	7	21	35	35	21	7	1
n=8	1	8	28	56	70	56	28	8	1

→ große Wertetabelle

Definition

Für $a\in \mathbb {C}$ und $k\in \mathbb {Z}$:

${\binom {a}{k}}:={\begin{cases}{\frac {a^{\underline {k}}}{k!}}&{\text{wenn}}\;k>0,\\1&{\text{wenn}}\;k=0,\\0&{\text{wenn}}\;k<0.\end{cases}}$

Hierbei ist

$a^{\underline {k}}:=\prod _{j=0}^{k-1}(a-j).$

Für $a,b\in \mathbb {C}$:

${\binom {a}{b}}:=\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (y+1)\Gamma (x-y+1)}}.$

Rechenregeln

Für $n,k\in \mathbb {Z}$ gilt:

${\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}={\binom {n+1}{k+1}},$

bzw.

${\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}.$

Sei $n,k\in \mathbb {Z}$ mit $0\leq k\leq n$. Es gilt:

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}},$

${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}},$

${\binom {n+1}{k}}={\frac {n+1}{n-k+1}}{\binom {n}{k}}.$