Einführung in die Tensorrechnung: Reziproke Systeme von Basisvektoren

Zurück zu Das Tensorellipsoid | Hoch zu Einführung in die Tensorrechnung | Vor zu Kontravariante und kovariante örtliche Basissysteme

Reziproke Systeme von Basisvektoren

Wir führen in O ein dreidimensionales schiefwinkliges UVW-Koordinatensystem ein, das durch drei nicht-komplanare (d. h.: nicht in einer gemeinsamen Ebene liegende) Einheitsvektoren e₁, e₂, e₃ bestimmt ist. Diese drei Vektoren bestimmen außer der U-, V- und W-Achse auch eindeutig eine UV-Ebene, eine VW-Ebene und eine WU-Ebene.

Dann können wir in jedem Punkt P des Raumes ein »lokales Koordinatensystem« installieren, dessen Achsen zu denen des Basissystems parallel sind. Wir bezeichnen dessen Einheitsvektoren zur Unterscheidung von denen des Basissystems mit

${\underline {\boldsymbol {e}}}_{1},\quad {\underline {\boldsymbol {e}}}_{2},\quad {\underline {\boldsymbol {e}}}_{3},$

wobei natürlich - wenn man von der Parallelverschiebung absieht -

${\underline {\boldsymbol {e}}}_{1}={\boldsymbol {e}}_{1},\quad {\underline {\boldsymbol {e}}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{2},\quad {\underline {\boldsymbol {e}}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{3}$

ist.

Nun definieren wir in P ein zweites lokales System von Einheitsvektoren

${\underline {\boldsymbol {e}}}_{1}^{*},\quad {\underline {\boldsymbol {e}}}_{2}^{*},\quad {\underline {\boldsymbol {e}}}_{3}^{*}$

der Art, dass

${\underline {\boldsymbol {e}}}_{1}^{*}\,\bot \,VW-{\mbox{Ebene,}}\quad {\underline {\boldsymbol {e}}}_{2}^{*}\,\bot \,WU-{\mbox{Ebene,}}\quad {\underline {\boldsymbol {e}}}_{3}^{*}\,\bot \,UV-{\mbox{Ebene}}$

ist. Da e*₁ auf der VW-Ebene senkrecht steht, ist der Vektor auch orthogonal zur V- und zur W-Achse. Analoges gilt für die beiden anderen Vektoren des Systems. (Beachte: Dies trifft zu, obwohl beide Systeme schiefwinklig sind, also die Vektoren ein und desselben Systems nicht orthogonal sind.)

Sonderfall: Ist das Basissystem in O mit den Vektoren e_i (i = 1, 2, 3) rechtwinklig, dann sind es die beiden anderen Systeme auch und dann ist auch

${\underline {\mathbf {e} }}_{1}^{*}={\underline {\mathbf {e} }}_{1},\quad {\underline {\mathbf {e} }}_{2}^{*}={\underline {\mathbf {e} }}_{2},\quad {\underline {\mathbf {e} }}_{3}^{*}={\underline {\mathbf {e} }}_{3}\,.$

Definition: In diesem Fall heißen die beiden lokalen Systeme reziprok (zueinander).

Da jeder Vektor aus dem einen System dann zu jedem Vektor aus dem anderen (reziproken) System entweder parallel oder orthogonal ist, gilt für die Skalarprodukte von je zwei Vektoren aus verschiedenen Systemen

${\underline {\boldsymbol {e}}}_{i}\cdot {\underline {\boldsymbol {e}}}_{k}^{*}=\left\{{\begin{matrix}1,\,{\mbox{wenn}}\,i=k\\0,\,{\mbox{wenn}}\,i\neq k\end{matrix}}\right.$

Setzt man nach einem Vorschlag von Kronecker (1923-1991)

 

$\delta _{ik}=1,{\mbox{wenn}}\,\,i=k\,\,{\mbox{und}}\,\,0,{\mbox{wenn}}\,\,i\neq k,$

dann kann man schreiben

${\underline {\boldsymbol {e}}}_{i}\cdot {\underline {\boldsymbol {e}}}_{k}^{*}={\underline {\boldsymbol {e}}}_{k}^{*}\cdot {\underline {\boldsymbol {e}}}_{i}=\delta _{ik}.$

δ_ik heißt Kroneckers delta.

Verallgemeinerung:

Alle Vektorsysteme, die dieser Bedingung genügen, werden reziprok (zueinander) genannt. Selbst wenn die Basisvektoren keine Einheitsvektoren sind, können sie diese Bedingung erfüllen, nämlich genau dann, wenn ihre Längen so gewählt werden, dass die entsprechenden Skalarprodukte den Wert 1 haben. Die Beträge dieser Vektoren müssen dann reziprok zueinander sein, woraus sich ihr Name erklärt.

 

Zurück zu Das Tensorellipsoid | Hoch zu Einführung in die Tensorrechnung | Vor zu Kontravariante und kovariante örtliche Basissysteme