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Einführung in die Tensorrechnung: Reziproke Systeme von Basisvektoren

Reziproke Systeme von BasisvektorenBearbeiten

Wir führen in O ein dreidimensionales schiefwinkliges UVW-Koordinatensystem ein, das durch drei nicht-komplanare (d. h.: nicht in einer gemeinsamen Ebene liegende) Einheitsvektoren e1, e2, e3 bestimmt ist. Diese drei Vektoren bestimmen außer der U-, V- und W-Achse auch eindeutig eine UV-Ebene, eine VW-Ebene und eine WU-Ebene.

Dann können wir in jedem Punkt P des Raumes ein »lokales Koordinatensystem« installieren, dessen Achsen zu denen des Basissystems parallel sind. Wir bezeichnen dessen Einheitsvektoren zur Unterscheidung von denen des Basissystems mit

 


wobei natürlich - wenn man von der Parallelverschiebung absieht -


 

ist.


Nun definieren wir in P ein zweites lokales System von Einheitsvektoren

 


der Art, dass


 


 


ist. Da e*1 auf der VW-Ebene senkrecht steht, ist der Vektor auch orthogonal zur V- und zur W-Achse. Analoges gilt für die beiden anderen Vektoren des Systems. (Beachte: Dies trifft zu, obwohl beide Systeme schiefwinklig sind, also die Vektoren ein und desselben Systems nicht orthogonal sind.)


Sonderfall: Ist das Basissystem in O mit den Vektoren ei (i = 1, 2, 3) rechtwinklig, dann sind es die beiden anderen Systeme auch und dann ist auch


 

Definition: In diesem Fall heißen die beiden lokalen Systeme reziprok (zueinander).

Da jeder Vektor aus dem einen System dann zu jedem Vektor aus dem anderen (reziproken) System entweder parallel oder orthogonal ist, gilt für die Skalarprodukte von je zwei Vektoren aus verschiedenen Systemen

 


Setzt man nach einem Vorschlag von Kronecker (1923-1991)

 

 


dann kann man schreiben


 

δik heißt Kroneckers delta.


Verallgemeinerung:

Alle Vektorsysteme, die dieser Bedingung genügen, werden reziprok (zueinander) genannt. Selbst wenn die Basisvektoren keine Einheitsvektoren sind, können sie diese Bedingung erfüllen, nämlich genau dann, wenn ihre Längen so gewählt werden, dass die entsprechenden Skalarprodukte den Wert 1 haben. Die Beträge dieser Vektoren müssen dann reziprok zueinander sein, woraus sich ihr Name erklärt.